图论

目录

• 1.基本图算法
  参见基本的图算法
  参见深度优先搜索和广度优先搜索专题
• 2.最小生成树——无向图
  参见最小生成树
• 3.单源最短路径
  参见最短路径专题
• 4.所有结点对的最短路径问题
  参见最短路径专题
• 5.最大流
  参见最大流

1.基本图算法

参见基本的图算法
参见深度优先搜索和广度优先搜索专题

• 图的表示包括邻接链表和邻接矩阵
• 广度优先搜索：算法需要在发现所有距离源节点s为k（k条边）的所有结点之后，才会发现距离源节点s为k+1的其他结点。
• 深度优先搜索：深度优先搜索总是对最近才发现的结点v的出发边进行搜索，直到该节点的所有出发边都被发现为止。一旦结点v的所有出发边都被发现，搜索则回溯到v的前驱结点，来搜索该前驱结点的其他出发边。
  该过程一直持续到从源节点可以达到的所有结点都被发现为止。
• 拓扑排序（使用深度优先搜索）：对于一个有向无环图G = (V, E)来说，其拓扑排序是G中所有结点的一种线性次序，该次序满足如下条件：
  如果图G包含边(u ,v)，则结点u在拓扑排序中出于结点v的前面（如果G含有回路，则不可能排出一个线性次序）。
• 强连通分量（使用深度优先搜索/拓扑排序）：如果一个有向图中任意两个顶点互相可达，则该有向图是强连通的。有向图的强连通分量是“相互可达”关系下顶点的等价类。
  有向图G = (V, E)的强连通分量是一个最大结点集合 C包含于V，对于该集合中的任一对结点u和v来说，路径 u ->...-> v和v ->...-> u同时存在，也就是u和v可以互相可达。

2. 最小生成树——无向图

参见最小生成树

• 使用贪心算法求解，关键在于对贪心选择性质和最优子结构的证明。
• Kruskal算法：集合A是一个森林，每次加入到集合A中的安全边永远是权重最小的连接两个不同分量的边。
• Prim算法（广度优先搜索）：集合A是一棵树，每次加入到A中的安全边永远是连接A和A之外某个节点的边中权重最小的边。

3.单源最短路径

参见最短路径专题

• 给定一个带权重的有向图G=(V, E)和权重函数w:E ->R，该权重函数将每条边映射到实数值的权重上。
  图中一条路径p=0, v₁, ..., v_k>的权重w(p)是构成该路径的所有边的权重之和：
  

  
  
  定义从结点u到结点v的最短路径权重δ(u, v)如下：
  
  
  
  从结点u到结点v的最短路径则定义为任何一条权重为w(p) = δ(u, v)的从u到v的路径p。

• 最短路径问题
  1）单源最短路径问题
  给定一个图G=(V, E)，希望找到从给定源节点s∈V到每个结点v∈V的最短路径。
  2）单目的地最短路径问题
  找到从每个结点v到给定目的地结点t的最短路径。如果将图的每条边的方向翻转过来，可以将该问题转换为单元最短路径问题
  3）单节点对最短路径问题
  找到从给定结点u到给定v的最短路径。如果解决了针对单个结点u的单源最短路径问题，那么也就解决了这个问题

• Bellman-Ford算法——O(VE)
  对每条边调用|V| - 1次松弛操作。

• SPFA算法——对Bellman-Ford的一个改进（广度优先搜索）
  建立一个先进先出的队列用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对u的所有邻接点v进行松弛操作，如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止。

• 有向无环图的按拓扑顺序进行松弛的算法——Θ(V + E)

• 非负权重有向无环图Dijkstra算法（贪心算法）（广度优先搜索）
  算法维持集合S，从源节点s到该集合中每个结点之间的最短路径已经被找到。
  算法重复从结点集V-S中选择最短路径估计最小的结点u，将u加入到集合S，然后对所有从u发出的边进行松弛。
  二叉堆——O((V+E)lgV)
  斐波那契堆——O(VlgV+E)

• 差分约束系统——归约为单源最短路径问题（核心依据是三角不等式性质）

4.所有结点对的最短路径问题

参见最短路径专题

• 所有结点对最短路径问题
  对于每对结点u和v，找到从结点u到结点v的最短路径。

• 基本方法和重复平方法——Θ(n⁴)和Θ(n³lgn)
  1）动态规划
  2）基本方法去掉一个不确定的边，需要遍历找到是哪个边
  3）重复平方法与基本方法的区别在于：基本方法到最终解，每次增加一条边；重复平方法每次增加一倍。

• Floyd-Warshall——Θ(n³)
  1）动态规划
  2）Floyd-Warshall去掉中间一个确定的点，不用遍历求最小

• Johnson算法——O(V²lgV+VE)（稀疏图特别适合）
  1）基于Bellman-Ford判断是否有负值环路
  2）最大的特色是基于单源最短路径算法来进行，对每一点分别利用Dijkstra算法（时间效率最好的单源最短路径算法）
  3）Dijkstra算法有限值，就利用“差分约束系统”里面的方法，利用三角不等式，将w'(u, v)变成非负的

5.最大流

参见最大流

5.1 最大流问题

• （流网络）流网络G=(V, E)是一个有向图，图中每条边(u, v) ∈E有一个非负的容量值c(u, v) ≥ 0。
  并且如果边集合E包含一条边(u, v)，则图中不存在反方向的边(v, u)。
  如果(u, v) ∉ E，定义c(u, v) = 0，且图中不允许自循环。
  两个特殊结点：源结点s和汇点t。每个结点都在从源结点到汇点的某条路径上。即对于每个结点v∈V，流网络包含一条路径s -> v -> t。
  因此，流网络是连通的，且由于源节点外每个结点都至少有一条进入的边，则|E| ≥ |V| -1。

• （流）设G=(V, E)是一个流网络，其容量函数为c。设s为网络的源结点，t为汇点。G中的流是一个实值函数f: V x V -> R，满足下面两条性质：
  1）容量限制：对于所有的结点u, v ∈ V，要求 0 ≤ f(u, v) ≤ c(u, v)。
  f(u, v)为从结点u到结点v的流。
  2）流量守恒：对于所有的结点u ∈ V-{s, t}，要求
  

  
  
  当(u, v) ∉ E时，从结点u到结点v之间没有流，因此f(u, v) = 0.

• （流的值|f|）一个流f的值|f|定义如下：
  

  
  
  流f的值是从源结点流程的总流量减去流入源结点的总流量。通常，一个流网络不会有任何进入源结点的边。也即后面的项为0.

• （最大流问题）在最大流问题中，给定一个流网络G、一个源结点s、一个汇点t，希望找到值最大的一个流。

5.2 四种解法（本质是两种解法：Ford-Fulkerson和推送—重贴标签算法）

• Ford-Fulkerson方法——O(E|f*|)
  

  
  
  
  

• Edmonds-Karp算法（Ford-Fulkerson方法的一种实现）——O(VE²)
  这里主要是约定了查找增广路径的方法：寻找s到t的最短路径。
  使用广度优先搜索来改善。
  在残存网络中选择的增广路径是一条从源结点s到汇点t的最短路径，其中每条边的权重为单位距离。

• 推送—重贴标签算法—— O(V²E)
  

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

• 前置重贴标签算法（推送—重贴标签算法的一种实现）—— O(V³)