32. Longest Valid Parentheses

问题

Given a string containing just the characters '(' and ')', find the length of the longest valid (well-formed) parentheses substring.

例子

For "(()", the longest valid parentheses substring is "()", which has length = 2.
Another example is ")()())", where the longest valid parentheses substring is "()()", which has length = 4.

分析

方法一：栈

遍历字符串，如果当前字符为 ( , 入栈；如果是 ) ，检测栈的情况：如果栈为空，入栈；否则检查栈顶，如果为 ( ，出栈；否则入栈。注意，也要把当前字符的下标入栈。
将栈的元素一一出栈，即可得到每一段合法的括号表达式的长度。假设字符串为")()(()))()("，遍历完之后，栈应该变成 ) 0, ) 7, ( 10。可以清楚地看到，原字符串有两段合法的括号表达式，长度分别为7 - 0 - 1 = 6、10 - 7 - 1 = 2。最长长度为6。

方法二：动态规划

假设待验证字符串为S

1. 状态表
   dp[i] 表示以S[i - 1]作为结尾的最长合法字符串的长度
2. 初始状态
   dp[0] = dp[1] = 0 长度为0或者1的字符串显然不合法
3. 状态转移方程
   dp[i] = dp[i - 2] + 2 if s[i - 1] == ')' && s[i - 2] = '('
   注：表示这种情况：...() **
   显然dp[i]的大小等于...的最大合法字符串的长度（dp[i - 2]）+2
   dp[i] = dp[i - 1] + 2 + dp[i - 2 - dp[i - 1]]; if s[i - 1] == ')' && s[i - 2] = ')' && s[i - 2 - dp[i - 1]] == '('
   注：表示这种情况：...(()) **
   第一个 ( 是s[i - 2 - dp[i - 1]] ，第一个 ) 是s[i - 2]，第二个 ) 是s[i - 1]。总长度=...的最大合法字符串的长度（dp[i - 2 - dp[i - 1]]）+ 2（s[i - 2 - dp[i - 1]]和s[i - 1]匹配的一对括号）+ dp[i - 1]（中间的两个括号）

要点

• 熟练运用栈和动态规划；
• 动态规划分为两种，一种状态本身就是所求的变量，另一种则不是，但是所求的变量可以在更新状态表的过程中得到。

时间复杂度

O(n)

空间复杂度

O(n)

代码

方法一

class Solution {
public:
    int longestValidParentheses(string s) {
        stack> es;
        for (int i = 0; i < s.size(); i++) {
            if (es.empty() || s[i] == '(') es.push(make_pair(s[i], i));
            else {
                if (es.top().first == '(') es.pop();
                else es.push(make_pair(s[i], i));
            }
        }

        int longestLen = 0, last = s.size();
        while (!es.empty()) {
            longestLen = max(longestLen, last - es.top().second - 1);
            last = es.top().second;
            es.pop();
        }
        longestLen = max(longestLen, last);
        return longestLen;
    }
};

方法二

class Solution {
public:
    int longestValidParentheses(string s) {
        int n = s.size();
        vector dp(n + 1, 0);
        int longestLen = 0;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            if (s[i - 1] == ')') {
                if (s[i - 2] == '(') 
                    dp[i] = dp[i - 2] + 2;
                else if (s[i - 2 - dp[i - 1]] == '(')
                    dp[i] = dp[i - 1] + 2 + dp[i - 2 - dp[i - 1]];
                longestLen = max(longestLen, dp[i]);
            }
        }
        return longestLen;
    }
};