数据校验码--汉明码(Hamming code)

汉明码是Richard Hamming于1950年提出的。是目前广泛采用的一种有效的校验码，其中，主存的ECC(Error Correcting Code)采用的就是类似的校验码。

基本原理

将有效的信息按某种规律分成若干组，每组安排一个校验位，做奇偶测试，就能提供多位检错信息，以指出最大可能是哪位出错，从而将其纠正。实质上，汉明校验码是一种多重校验。

----摘自百度百科
这个分组的思想有点不是很理解。

在有效信息位种中加入几个校验位形成汉明码，使码距比较均匀的增大，并把汉明码的每一个二进制位分配到几个奇偶校验组中。

以下使用P代表校验位，H代表汉明码，D代表原始信息位，N位信息位的位数，K位校验位的位数。
则N与K的关系为2^(K-1) >=N+K+1,如下表:

N	K
1~3	4
4~10	5
11~25	6
26~56	7
57~119	8

分组原则

• 信息位和校验位之和为m,每个校验位Pi在汉明码中被分到位号为2^(i-1)的位置上，其余各位为信息位
• 汉明码每一位Hi有多个校验位校验，其关系是被校验的每一位位号等于校验它的各校验位的位号之和，即汉明码的实质是参与校验的各校验位权之和。 这句话理解起来有点别扭，看下面例子。
• 在增大码距时，应使所有编码的码距尽量均匀地增大，以保证对所有代码的检测能力平衡的提高

例子

编码

假设原始数据信息位的位数为8，那么他需要的K值位5，即需要有5个校验位，组成的汉明码的位数为13.再根据校验位的分配原则，组成的汉明码如下：

|位|13| 12| 11 |10| 9| 8| 7 |6| 5| 4| 3| 2| 1|
|-|-|-|-|-|-|-|-|-|-|-|-|-|
|汉明码|P5| D8| D7| D6 | D5| P4| D4| D3| D2| P3| D1| P2| P1|

P5本来应该是放在第16位的，但是由于生成的汉明码位数为13所以它就被挪到的第13位了。
那么怎么确定校验呢？最初也困扰我许久。
先看一个表格：
其中H的下标代表在汉明码中的位置，也是P4P3P2P1组成的-十进制数

P5	P4	P3	P2	P1	H
	0	0	0	1	H1	P1
	0	0	1	0	H2	P2
	0	0	1	1	H3	D1
	0	1	0	0	H4	P3
	0	1	0	1	H5	D2
	0	1	1	0	H6	D3
	0	1	1	1	H7	D4
	1	0	0	0	H8	P4
	1	0	0	1	H9	D5
	1	0	1	0	H10	D6
	1	0	1	1	H11	D7
	1	1	0	0	H12	D8
	1	1	0	1	H13	P5

校验位Pi的偶校验结果就是:
P1 = D1 ^ D2 ^ D4 ^ D5 ^ D7
P2 = D1 ^ D3 ^ D4 ^ D6 ^ D7
P3 = D2 ^ D3 ^ D4 ^ D8
P4 = D5 ^ D6 ^ D7 ^D8
如果是奇校验的话上面的结果取反就是了。
那么还有P5呢？上面的结果中，D4，D7出现了3次，而D1，D2，D3，D5，D6，D8仅出现了2次，为了使其各个信息位在校验中均匀的出现校验，从而定义P5 = D1 ^ D2 ^ D3 ^ D5 ^ D6 ^D8,这样，每一位信息位都均匀的出现在3个Pi值得形成关系中，当任意一位信息位变化的时候都会引起3个P值得变化，即合法汉明码的码距为4 (前面都懂，这个码距为4有点想不明白)
这就是编码了。

现在再来看看这句话

汉明码每一位Hi有多个校验位校验，其关系是被校验的每一位位号等于校验它的各校验位的位号之和，即汉明码的实质是参与校验的各校验位权之和。

P1，P2，P3，P4，P5的位数分别为1,2,4,8,13
D1的汉明码位数为3，3 = 2 + 1所以D1会被P1，P2两个校验位所校验。

汉明码的信息位	汉明码的位数	被校验位	说明
D1	3 = 1 + 2	P1,P2	D1信息位会被校验位P1，P2所校验。
D2	5 = 1 + 4	P1,P3
D3	6 = 2 + 4	P2,P3
D4	7 = 1 + 2 +4	P1,P2,P3
D5	9 = 1+ 8	P1,P4
D6	10 = 2 + 8	P2,P4
D7	11 = 1 + 2 +8	P1,P2,P4
D8	12 = 4 + 8	P3,P4

根据偶校验结果以及上应该就清楚了。

校验

将收到的汉明码进行偶校验(当然也可以进行奇校验，前提是前面编码的时候使用的是奇校验)

S1 = P1 ^ D1 ^ D2 ^ D4 ^ D5 ^ D7
S2 = P2 ^ D1 ^ D3 ^ D4 ^ D6 ^ D7
S3 = P3 ^ D2 ^ D3 ^ D4 ^ D8
S4 = P4 ^ D5 ^ D6 ^ D7 ^D8
S5 = P5 ^ D1 ^ D2 ^ D3 ^ D5 ^ D6 ^D8

汉明码出错情况:
记录 S = S5 S4 S3 S2 S1

1. S为00000时代表无错
2. 有一位不为0,表明某一校验位出错或者三位汉明码(信息位和校验位)同时出错
3. 两位不为0，表明两位汉明码同时出错，此时只能发现错误无法确定错误的位置
4. 3位不为0，表明一位信息位出错或者3位校验位同时出错
5. 4/5位不为0，表明出错情况严重，系统可能出现故障，应检查系统硬件的正确性

以上结果分析基于偶校验。

|汉明码||P5| D8| D7| D6 | D5| P4| D4| D3| D2| P3| D1| P2| P1|
|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|
|出错位号||H13| H12| H11 |H10|H9| H8| H7 |H6| H5| H4| H3| H2|H1|
||S5|1|1|0|1|1|0|0|1|1|0|1|0|0|
||S4|0|1|1|1|1|1|0|0|0|0|0|0|0|
||S3|0|1|0|0|0|0|1|1|1|1|0|0|0|
||S2|0|0|1|1|0|0|1|1|0|0|1|1|0|
||S1|0|0|1|0|1|0|1|0|1|0|1|0|1|