作家唐国明用“个位数”法对哥德巴赫猜想1＋1创新论证证明（第101稿）
——比任一大于2的偶数自身小的素数中至少有一对素数之和能表示这个偶数
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摘要：即使随自然正整数越大，素数在区间分布个数在减少，但一个偶数越大，它前面包含的素数就越多，一个偶数能表示成两个素数之和的概率却在不断增大。而一个偶数越小，它前面所包含的素数就越少，一个偶数能表示成两个素数之和的概率却越小，而小到尽头的偶数4，却还有素数2与2之和能表示它；因此可以肯定的说，比任一大于2的偶数自身小的素数中至少有一对相同或不同的素数之和能表示这个偶数，因此哥德巴赫猜想即
关键词：个位数
1、在论证证明“1＋1”成立前想说的话
真理就简单明了的摆在那儿，只是等待人去发现而已。《红楼梦》的作者曹雪芹，据目前考证得出的结果普遍认为约生于1715年5月28日，约死于1763年2月12日，数学家哥德巴赫几乎与文学家曹雪芹生活在同一个时代，他生于1690年3月18日，死于1764年11月20日；他的猜想“1＋1”于1742年提出至今被喻为“数学皇冠上的明珠”；20世纪的数学家们研究哥德巴赫猜想所采用的主要方法，是筛法、圆法、密率法和三角和法那些高深的数学方法。
从1920年挪威数学家布朗证明了定理“9＋9”，即“任何一个足够大的偶数，都可以表示成其它两个数之和，而这两个数中的每个数，都是9个奇素数之积”开始，全世界的数学家集中力量“缩小包围圈”，直到陈景润1966年证明“1＋2”之后，到2017年，半个多世纪又过去了，“1＋1”还没有被谁真正证明。对于这个困扰人类近300年的数学难题，数学家们说，想证明“1＋1”，必须找到创新的方法。
根据不管奇素数有无限多，有无穷大，每个大于2的奇素数都逃不过个位数在1、3、5、7、9中的循环转换性质，而1、3、5、7、9不管如何两两相加，得出的结果都分别是个位数在0、2、4、6、8之间循环变动的偶数性质；我找到了对“1＋1”猜想成立的最简创新证明，论证如下：
2、“1＋1”成立的理论过程
素数的定义是，在大于1的自然数中只能被1整除与自身整除的数叫素数。也可以根据定义同样可以表述为，一个大于1的自然数，如果不能在1除外的情况下被比它本身小的自然数整除，那它就是一个素数。在10以下，根据定义当我们得知2是素数时，我们已知4、6、8是合数，其他是奇数，奇数不能被偶数整除，同样奇数也不能整除偶数，我们又得出3是素数；当我们分别用5除以3，用7整除以5、3时，我们找到了10以内的素数2、3、5、7；9大于7，9是3的倍数，它是合数，因此根据常识可推知，大于10的自然数，凡是个位数是0、2、4、5、6、8的是明显的合数，能被3、7整除的奇数也是合数。在寻找素数时排除这些我们一眼看出的合数与能被3、7整除的合数时，我们将其他的数根据前面的方式用同样的方法不厌其烦的推进，找到500以内的素数甚至10000以外的素数时，我们就基本掌握了素数的一些明显规则与特性，以此去发现更多的素数。尤其是大于10以上素数的个位数，总是离不开1、3、7、9四个姐妹轮流固定在场。我们从而可得知，任何大于或等于4的自然数通过被2尽整除检验过后，假如不能被2整除或整除尽后所得的结果再用3尽整除检验过后，假如不能被3整除或整除尽后所得的结果再用5尽整除检验过后，假如不能被5整除或整除尽后所得的结果再用7尽整除检验过后，最后只能是被1整除与它自身整除的素数或是不能被2、3、5、7分别连续整除的两个或多个素数的乘积。这个过程以下简称“弱素数化”或“不完全素数化”。例如自然数78，除以2后是39，39再也不能被2整除了，再用3整除检验，得13，13再也不能被3整除，再用5整除检验，13再也不能被5整除，再用7整除检验，13再也不能被7整除，13就是一个只能被1与它自身整除的素数。如2222除以2以后是1111，如3333除以3后是1111，如5555除以5后是1111，如7777除以7后是1111，1111再也不能被2、3、5、7整除，但1111不是素数，只是仅只是素数101与素数11的乘积，它是合数。1111乘以1111所得的乘积是1234321，也是一个不能被2、3、5、7整除的数，但：
1234321＝1111×1111＝（101×11）×（101×11）
15455711041＝124321×124321＝ [（101×11）×（101×11）] ×[（101×11）×（101×11）]
15455711041也是不能被2、3、5、7整除的合数。再如素数13乘以19的积是247，247也不能被2、3、5、7整除，247乘以247的积61009也不能被2、3、5、7整除。61009乘以61009的乘积3722098081也是个不能被2、3、5、7整除的合数，如果把61009乘以任意一个素数13的乘积793117照样不能被2、3、5、7整除，再把61009乘以任意一个素数17所得的乘积1037153也是一个不能被2、3、5、7整除的合数，其他例证无须再举，从而可知：
任意大于或等于4的自然数分别通过2、3、5、7先后连续轮流“弱素数化”后，最后所得的数一定是一个只能被1整除与它自身整除的素数或是不能被2、3、5、7整除的两个或多个素数的乘积，因为它是两个或两个以上多个素数的乘积，下面简称这类数为“不完全素数”。遇到不能被2、3、5、7整除的“不完全素数”时，我们解决的办法，一是找到最接近此“不完全素数”的平方数，再根据“不完全素数”的个位数，确定其“不完全素数”素因数的个位数，再列出小于或等于其平方数的素数，用“不完全素数”逐个除以小于或等于其平方数的素数，只要有一个能整除其“不完全素数”的数，得出结果后，可以继续按此方法步聚继续对所得的结果进行“素数化”，直到其结果为素数。
例如起始的自然数26341被7整除后得“不完全素数”3763，3763再也不能被2、3、5、7整除，现在得再次检验它是一个素数，还是一个“不完全素数”，乘积最接近3763的平方数是60的平方3600，而3763的个位数是3，根据大于10以上素数的个位数只能是1、3、7、9，在这些个位数中，只有1×3＝3，7×9＝63，若3763不是素数是“不完全素数”的话，则3763的素因数至少有一个少于60、个位数是1与3或7与9的素数，而这些素因数的范围只可能是这样两组：
47，37，59； 53，43，61，41，31；
用它们分别整除3763，而3763÷53＝71，53与71是素数，所以自然数26341分解到这一步时才算是 “彻底素数化”。自然数26341被“素数化”后，被分解出7、53、71三个素因数或素数。由此可知“不完全素数”分到不能再分的因数只能是素数，因此也叫素因数，素因数也叫质因数。
所以分别通过2、3、5、7先后连续轮流整除自然数26341后得到3763的过程叫“弱素数化”，直到3763被分解成53、71两个素数为止，叫“彻底素数化”。这虽然看上去是一种发现素数也是检测一个自然数是不是素数最笨的方法，但对付素数这个林黛玉，与那些2、3、5、7先后连续轮流整除“弱素数化”后也看不出是素数还是合数的数，可是一个检测的好方式，我们用它也可以从100到200到300甚至到无穷自然数中逐步逐步逐步地挖出素数，一步一步扩大我们想要发现的素数领域与素数王国。
另外，凡是大于10的两个或两个以上多个素数的乘积不能被2、3、5、7整除；而只能被1整除与它自身整除的素数，在偶数中仅只有2。通过前人的努力与对素数所做的成果，我们得知凡是大于2的素数，除3、5、7之外，两位数及两位数以上的素数，其个位数，也就是其个位数只能在1、3、7、9中轮回变动，不可能是其他数，所以，除既是素数又是偶数的2之外，其他的素数既是奇数又是素数，以下简称奇素数。根据常识与定义，奇数加奇数之和是偶数，所以两奇素数之和必是偶数。而两位或两位以上任意大的偶数，其个位数不过是在0、2、4、6、8之间循环变动。
因此，凡大于10的素数，不管有无限多，有无穷大，它都逃不过个位数是1、3、7、9的循环变动（这个分布规律也可以在陈景润《初级数论Ⅰ》第一章后面附的5000以内的素数表中得到证实），而1、3、7、9不管如何两两相加，它所得的结果都分别是个位数都逃不过0、2、4、6、8循环转换的偶数。除偶素数2而小于10的奇素数3、5、7无论怎样两两相加也都分别是偶数。
由此可知任何大于2的两个奇素数，只要个位数相加是偶数，它们的相加之和必是偶数。所以任一大于或等于6的偶数可表示为两奇素数之和。也可以按1742年6月7日，德国数学家哥德巴赫在写给著名数学家欧拉的一封信中的原话说：“任何不小于4的偶数，都可以是两个素数之和”。虽然欧拉回信说：“任何一个大于2的偶数，是两个素数之和。”2是偶数，也是素数，并且是唯一的偶素数，而大于2的偶数4，只能仅能是素数2加2的和。在这个基础上如今数学界一般习惯说“任一大于或等于6的偶数可表示为两奇素数之和”；或把哥德巴赫猜想用欧拉的话表述。不管用如今数学界习惯的表述，还是欧拉、哥德巴赫猜想的表述，命题绝对成立。因此，凡是大于2或者说不小于4，其个位数都逃不过0、2、4、6、8循环的偶数绝对能表述为个位数是1、2、3、5、7、9的两素数之和。但哥德巴赫也说过：“任何不小于7的奇数，都可以是三个素数之和。”
那我们看看三个分别大于2的奇素数之和或四个大于2的奇素数之和是奇数还是偶数？先看例证，用任一大于2的奇素数的个位数1、3、5、7、9相加，可得：
1＋3＋5﹦9；1＋3＋7﹦11；1＋3＋9﹦13；3＋3＋9﹦15；1＋7＋9﹦17；
根据相加得出的结果，9、11、13、15、17都是奇数，产生的个位数都分别是奇数个位数逃不出的1、3、5、7、9；所以三个奇素数之和不是偶数，是奇数。因而从这可得出任意大于9的奇数，可以表示为三个素数之和，即“1＋1＋1”。而小于10的奇数如7﹦2＋2＋3，9﹦2＋2＋5，所以哥德巴赫猜想即任何不小于7的奇数，都可以是三个素数之和成立。
再看四个奇素数相加，只要相加四个奇素数的个位数1、3、5、7、9就可以得知。例如：
1＋3＋7＋9﹦20；1＋1＋3＋7﹦12；1＋3＋3＋7﹦14；1＋3＋5＋7﹦16；9＋9＋9＋1﹦28；（其他省略）
不管如何相加，四个奇数相加之和其个位数都分别是0、2、4、6、8；分别是偶数。所以由此可知，偶数个奇素数相加之和必是偶数；奇数个奇素数相加之和必是奇数。
综上所述，一个任意大于或等于6的偶数都可以表述为两个奇素数之和，或任何一个大于2的偶数，都可以是两个素数之和。
另外不能被2、3、5、7整除、大于2的两个或两个以上多个奇素数的乘积的个位数也只能在在1、3、5、7、9中轮回变动。而1、3、5、7、9不管怎样相乘，所得乘积的个位数都是在1、3、5、7、9中轮回变动的奇数。例如：
3×3×9＝81；1×3＝3；5×9＝45；3×3×3×3×7＝567；1×3×7×9＝189；（其他省略）
因而一个奇素数与两个或两个以上的奇素数的乘积之和是偶数，两个或两个以上奇素数的乘积与两个或两个个奇素数数的乘积之和也是偶数，这两种形式则可用表述如下：
3、“1＋n”与“s ＋ z”成立的表述过程
4、“1＋1”成立的公式证明过程
由以上所有论证过程得定理：对于特殊素数2与5，用素数2加2的和只能仅能表示偶数4，素数5与任何一个奇素数相加，所得之和总是个位数是0、2、4、6、8的偶数。由此一个无论多大的偶数，它的个位数都逃不过0、2、4、6、8；一个无论多大素数，它的个位数除2与5这两个素数之外，它的个位数都逃不过1、3、7、9；因此比任一大于2的偶数自身小的素数中至少有一对相同或不同的素数之和等于这个偶数，所以不管偶数多么无穷大，都可以满足的表示为两素数之和。因为一个无论多大的偶数表示为两素数之和时，只须看两素数的个位数相加，就能无条件地满足偶数的个位数0、2、4、6、8的特征。所以大于2或说不小于4的偶数可以表示为两素数之和绝对成立。简洁的说就是，由于素数2与5成为10以上的个位数时只能是合数，4只能仅能是偶素数2加2的和；因此无论一个多大的素数，除素数2与5外，它的个位数总是1、3、7、9；无论多么大偶数，它的个位数总是0、2、4、6、8，其偶数越大，能表示这个偶数为两素数之和的素数也越多，如果按这种推理论证方式找出一个偶数不能表示为两素数之和的反例，那哥德巴赫猜想1＋1不成立，但这个反例不可能存在，即使随自然正整数越大，素数在区间分布个数在减少，但一个偶数越大，它前面包含的素数就越多，一个偶数能表示成两个素数之和的概率却在不断增大。因为比任一大于2的偶数自身小的素数中至少有一对素数之和除能表示这个偶数外，还能表示大于这个偶数的许多偶数。而一个偶数越小，它前面所包含的素数就越少，一个偶数能表示成两个素数之和的概率却越小，而偶数小到尽头4，却还有素数2与2之和能表示它；因此可以肯定的说，比任一大于2的偶数自身小的素数中至少有一对相同或不同的素数之和等于这个偶数，所以大于2的偶数总可以是两素数之和。
5、证明“1＋1”成立的后记
而素数的个位数除素数2与5之外，其个位数是1、3、7、9这已经是共识，偶数奇数的个位数特征也是共识，找到这方式去寻求论证，并不是什么发明，只是说用这个方式去证明了，确实相对前人来说是另一个思路是另一种创新。对于无穷无尽的素数与偶数来说，除素数2之外，任何的两个素数相加之和是偶数。除偶数0与2之外，是不是所有的两个素数轮流相加的结果，就是所有的偶数？如果是，任一个大于2的偶数可以表示为两素数之和闭着眼睛都成立。而任一大于2的偶数可以表示为两个素数之和，从我前面的论证证明看，理论上是成立的，而且我们在已知的偶数素数区间是绝对成立的，面对我们未知的偶数素数区间只能说理论上是绝对成立的，但实证呢？对于无穷无尽的偶数素数你不可能全部完成验证，我们只能在一个区间数一个区间数的推进验证中认可这个理论，即使万一出现反例，只能说这个定理不适合这个反例，而其他数没有违背这个定理。对于其他数，这个定理是适用的，你不能说它不对，世上的一切有时只是相对的，不是绝对的；在一定条件下是绝对的，而放置于你不可把握的条件下，又只能是相对的。这就是自然科学的魅力，也是自然科学的遗憾。可贵的是，明知如此，我们仍没有放弃停下对于未知的探索,对于某一存在的现象背后原理的探寻，就如同用公式：
将“不完全素数”1111代入上面公式分为两素数之积与个位、十位、百位、千位时
1111﹦101×11﹦（10×10×1＋1）（10×1＋1）﹦100×10×1＋10×10×1＋10×1×1＋1×1
﹦1000＋100＋10＋1
没想到1111在这个公式把个位、十位、百位、千位表示得如此之恰切与天衣无缝，可以说1111是用此公式分割位数的黄金数与标准，这也算是我在论证“1＋1”猜想过程中的一个发现。
参考文献：
[1] 陈景润 《初级数论Ⅰ》[M]哈尔滨工业大学出版社 2012-05-01
[2] 盖伊(加拿大)《数论中未解决的问题》[M] 科学出版社 2007-01-04
问
唐国明，男，现居长沙，湖南省作家协会会员，鹅毛诗人。出版有“红学”作品《红楼梦八十回后曹文考古复原：第81至100回》。其追梦事迹已被湖南卫视、湖北卫视、浙江卫视、贵州卫视、辽宁卫视等电视台，《新周刊》《中国日报》《中国文化报》《潇湘晨报》《三湘都市报》《西安日报》《长沙晚报》等无数报刊报道。2017年相继攻克了世界数学难题“哥德巴赫猜想猜想1+1”与世界数学难题“3x+1”。