2017-12-28

2．里欧修斯(Eudoxus)的比较原则和逼近原理明确了实数系和有理数之间的关系，以逼近法用有理数逼近非比数，从而提供了研讨实数系的有效途径．

        当｛a、b｝不可公度时，“a：b”不是一个有理数，不能表示成m/n(n、m为整数)的分数，但a：b可以与m/n比较。

比较原则：a：b＞m/n或者＜m/n，当且仅当na＞mb或者na＜mb．

  公理：任何两个直线a、b，不论a有多短b有多长，总有足够大的整数N，使得Na＞b

  定理：设｛a、b｝是不可公度的，对于任给正整数n，恒存在正整数m，使得m/n＜a：b＜(m＋1)/n

证明：由上述公理，必有足够大的N，使得1/n·b的N倍比a长．令(m＋1)为所取N值的最小者，则有

                m·(1/n·b)＜a＜(m＋1)·(1/n·b) 即m/n＜a：b＜(m＋1)/n

注：因为n是可以任意大的，所以左、右夹逼a：b的两个分数之间的差1/n是可以任意小的．(用现代术语，即对任给正数E＞0，皆有足够大的n使得1/n＜E)我们取rn＝m/n；Sn＝(m＋1)/n，从而构成a：b的一对左、右夹逼数列｛rn｝和｛Sn｝．a：b存在于｛rn｝和｛Sn｝之间．总之，实数系的发现和理解都和长度度量问题密切相关，而实数系中任何一对左、右夹逼数列都唯一存在一个被它们所夹逼的实数(即它们的共同根限)是直线连续不断的解析描述，称为实数系的连续性，而它又是近代数学中各种各样存在性定理的证明依据，而且实数系是有理数系的一种自然扩张，任何一个实数都能用一对左、右夹逼的有理数数列去唯一地描述．反之，任何一对左、右夹逼的有理数数列也能描述一个实数．这样不但简明扼要地刻划了有理数系和实数系之间的关系，而且也提供了用有理数系去研究实数系的有效途径和方法。