the master method

     在写递归程序时，往往要分析它们的时间复杂度，而且时间复杂度一般不太容易直接看出来。在分析递归程序的时间复杂度，有个比较有名的定理是the master method.

     我们知道一般递归程序的时间复杂度可以用递归的公式表达出来，比如merge sort的时间复杂度的递归公式可以表示为T(n) = 2T(n/2) + O(n),而对于更一般的情况的，可以写成T(n) = aT(n/b) + O(n^d),根据master method，有下面分析时间复杂度的公式:

    下面对master method进行证明,首先画出T(n) = aT(n/b) + O(n^d)的递归调用树，可以知道第一层有1个问题，第二层有a*n/b的子问题，第三层有(a*n/b)^2,最后一层有(a*n/b)^(logb^n)个，所以，问题的总规模为

   所以，

   1.当a = b^d,那么，问题规模为c(n^d)*log(b^n),即O(n^d logn)

   2.当a < b^d,那么，问题规模为

                     

      由于

               

那么，

             

所以问题规模最终为O(n^d)

     3.当a  > b^d,那么，问题规模为

                     

       由于

                   

       那么

                     

       故问题规模最终为O(n^(logb^a))