堆和堆排序

堆的概念和特性

堆（准确说是其中的二叉堆）有两种表达方式：二叉树或者数组

• 二叉树，树的每一层都是填满的，最后一层可能除外，但也是从左往右尽量填充。

• 数组，对应二叉树，第i个元素的父亲是 floor(i/2)，左孩子是 2i，右孩子是2i+1。¹

  ​ 第i个元素的父亲是 floor((i-1)/2)，左孩子是 2i+1，右孩子是2i+2。²

  上面的树对应的数组是 [100, 19, 36, 17, 3, 25, 1, 2, 7]

最大堆（大顶堆）

堆中任意一个节点，都大于等于它的孩子。也就是说堆（树）中的任意一颗子树的最大值都在这棵树的根。

建立大顶堆

保持堆的性质 MAX-HEAPIFY

​ MAX-HEAPIFY是对大顶堆进行操作的最重要的子程序。其输入是一个数组A和下标i。当MAX-HEAPIFY被调用的时候，假定LEFT(i)和RIGHT(i)为根的两个子树都是大顶堆，但是A[i]可能小于其子女。MAX-HEAPIFY的作用就是使得A[i]下降，使得以i为根的子树称为大顶堆。

/* 保持堆性质
 * 1. 找到i、LEFT(i)和RIGHT(i)三个位置中最大的一个，将位置记录到largest中；
 * 2.1. 如果largest和i一样，说明以i为根的子树已经是大顶堆，程序结束。
 * 2.2. 如果largest和i不一样，交换对应的值；
 * 3. 由于largest位置的值变化，所以需要对largest为根的树调用heapify。
 */
void heapify(vector& aList, int i) {
    auto left = i * 2 + 1;
    auto right = left + 1;
    auto largest = i;

    if (left < aList.size() && aList[left] > aList[largest]){
        largest = left;
    }

    if (right < aList.size() && aList[right] > aList[largest]){
        largest = right;
    }

    if (largest != i) {
        auto tmp = aList[i];
        aList[i] = aList[largest];
        aList[largest] = tmp;

        heapify(aList, largest);
    }
}

建立大顶堆

void buildHeap(vector& aList) {
    auto len = aList.size();
    for (int i = floor((len-1)/2); i >= 0 ; i--) {
        heapify(aList, i);
    }
}

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1. 当数组从1开始的时候 ↩
2. 当数组从0开始的时候 ↩