2019 Multi-University Training Contest 1

2019 Multi-University Training Contest 1

A. Blank

upsolved by F0_0H

题意 给序列染色，使得 \([l_i,r_i]\) 区间内恰出现 k 种颜色。

做法 DP，\(dp[i][x][y][z]\) 表示考虑前 \(i\) 个位置，剩下 3 种颜色最后出现的位置为 \(x,y,z\) 的方案数 \((i\geq x \geq y \geq z)\)

复盘 比赛开始就提出了这个做法，但很遗憾，过题效率太低，再加上觉得 \(O(n^4)\) 过不去，没有在比赛中写这题。

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B. Operation

题意 一个序列，两种操作，1. append 元素 x 2. 查询区间内子集异或最大值。强制在线。

复盘

• 发觉如果查询可以离线，可以分治解决跨过mid的区间，\(O(nlogn + B^3q)\) 能解决问题。
• 在线就顶不住了。

做法 对于一个前缀 \(a[1],...a[r]\) build的线性基时，使得每一维基向量位置尽可能靠后，并记录它们的位置，即可解决右端点为 \(r\) 的查询。

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D. Vacation

solved by sdcgvhgj 233min -1

题意 单行道上很多辆车在走，求最后一辆车过线时间。

做法1 堆维护两车合体的时间。

做法2 枚举最后一辆车过线的时候是和谁合体的。

做法3 每个车的时间位移图像是个凸壳，求这个凸壳。

复盘 选择了一种不太舒适的做法 3。

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E. Path

solved by rdc 32min -1

题意 删掉权值最小的边，使得 \(1\) 到 \(n\) 最短路变长。

做法 留下可能出现在最短路上的边，做最小割即可。

复盘 数组开小 TLE 了一发，下次注意点。

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F. Typewriter

upsolved by sdcgvhgj

题意 打印一个字符串，每次可以打印一个字符，也可以复制一段子串，求最小耗费。
做法

• 对于每个位置j，欲求最靠左的位置i，使得i+1到j是1到i的子串
• 对于每个j，i是递增的，所以对1到i建SAM，对于每个j，持续移动i直到满足条件
• 普通在SAM跑串匹配时每次要匹配一个字符，需要一直向上跳，直到可以转移到这个字符
• 但如果每次用这种方法判断是否满足条件会退化到n方
• 因为长度在缩短，所以跳之后可以保留位置
• 比赛时意识到应该是SAM，但是一直在想怎么建好SAM之后找到N条转移关系，然后GG了，还是对SAM理解不够

复盘

• 意识到应该复制极长的串。
• 提出了 SA + 二分 + RMQ 的方案，因复杂度否决了这个做法。

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I. String

sdcgvhgj击中立柱，rdc跟进补射 171min -5

题意 求字典序极小子串，满足各字符出现次数限制条件。

做法 逐位考虑。

复盘 这题很不顺利，初始化GG+check不周。建议 sdcgchgj 提高代码复用率，一段逻辑要在多个地方执行时，写个函数，会舒适很多。

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K. Function

rdc写一半逃跑了，sdcgvhgj补刀 298min -2

题意 这个公式长得很漂亮，不如我们TLE一下。

做法

• 按 \([i^{\frac{1}{3}}]\) 分类统计答案。
• \([i^{\frac{1}{3}}]=x\) 时对答案的贡献为 \(\sum_{i=x^3}^{(x+1)^3-1} gcd(x,i)\)，根据辗转相除法，不难证明，此和式循环节为 \(x\)。
• 线性筛预处理 \(\sum_{i=1}^{n}gcd(i,n)\)

复盘

• rdc \(O(nlogn)\) 解体后，试图施展线性筛，又解体了，sdcgvhgj 中流砥柱！
• 求解 \(f(x)=\sum_{i=1}^{x}gcd(i,x)\) 真的是很经典的问题啊...... 在这种地方居然逡巡而不入。

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L. Sequence

solved by rdc 188min -1

题意 给一个序列\(\{a_n\}\)，有3种变换，第 \(k\) 种为 \(a_i = \sum_{j\leq i,(i-j)\%k=0} a_j\)

做法

• 变换相当于对序列做矩阵乘法。注意到三种操作的矩阵可以交换。
• 故可先进行若干次变换1，再进行变换 2，最后进行变换 3。
• 考虑变换注意到变换的结果每个元素可被 \(a_1,a_2,....a_n\) 线性表示，第 \(k\) 次，序列变成 \(\{\binom{k-1}{k-1}a_1,\binom{k}{k-1}a_1+\binom{k-1}{k-1}a_2,\binom{k+1}{k-1}a_1+\binom{k}{k-1}a_2+\binom{k-1}{k-1}a_3\,......\}\)，可以数学归纳证明。
• 可以看成 \(\{a_1,a_2,a_3,.....\}\) 与 \(\{\binom{k-1}{k-1},\binom{k}{k-1},\binom{k+1}{k-1}.....\}\) 卷积。

复盘

• rdc 义正言辞地表示操作顺序是有关的！【卜】，活鱼的这个识破极为关键。
• 做 k 次前缀和这样的经典问题，居然在比赛时磨一年洋工。
• 组合数学，还得练啊。

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M. Code

upsolved by sdcgvhgj

题意 给一些红色的点，一些蓝色的点，能否用一条直线隔开。

复盘 比赛时想找关键点枚举直线，笨蛋啊！

做法 check 凸包是否有交。

不观察性质，看着 \(n\leq100\) 就开始白给。

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总结

• 糟糕的比赛节奏，在所有 AC 的题上，都有很多不必要的资源消耗。
• 键盘上的选手和键盘下的选手，缺乏沟通。
• 未能成功识破 D、M。
• K、L 公式推倒不熟练。