DOTA2中的伪随机及其lua实现

因为单纯的随机确实会影响到竞技性，所以dota2引入的是伪随机机制，在大量的技能中，比如说混沌的混乱之箭、剑圣的剑舞、冰女的冰霜领域之类的技能，都利用了伪随机机制。
而纯随机，或者标准正态分布并不会因为之前的结果影响此次技能的效果，因为他们的每次计算是互相独立的。
所以，从魔兽争霸3继承来的PRD（Pseudo Random Distribution）机制就被引入啦，具体的实现原理是这样的，每次的运行，都使用一个不断增加的概率来进行计算，如果这个事件一直触发不成功，那么概率就不断上升，直到事件发生为止。
要完成这个算法，要解决的问题就是，对于一个发生概率为p的事件，在我们第N次调用的时候，我们使用的概率是P(N) = c * N,P(1)显然要是一个小于p的数值，所以要解决的就是c这个数值，如何让整体的概率尽量接近于p。
这里要引入的是马尔可夫链公式，马尔可夫链的定义在这里可以看到。
简单来说，马尔可夫链就是描述了一种此次事件会受到之前N个状态的影响。具体的公式可以去百度百科看到。
回到dota2，比如我们对于一个触发概率为5%的暴击，那么第一次出现暴击的概率是c，第二次是2c，如果一直不发生，直到第N次，出现了（c*N）大于1了，那么这次暴击就必然发生了，而在中间的每一次，如果暴击发生了，那么我们就把随机概率重置为c。
因此，总体期望的计算公式就是

P = 1*c + 2*c(1-c) + 3*c(1-c)(1-2c)+....

其中P = 1/p，N=1/c（第N次必然发生），那么我们可以用2分法在(0,1)之间不断估算c，直到这个公式成立就行了。
具体的算法实现：

local function p_from_c(c)
    -- 模拟N次随机，计算是否会在N次随机之后必然发生
    local po, pb = 0, 0
    local sumN = 0
    local maxTries = math.ceil(1/c)

    -- P = 1*c + 2*c(1-c) + 3*c(1-c)(1-2c)+....
    for n = 1, maxTries do
        po = math.min(1, c*n) * (1-pb)
        pb = pb + po
        sumN = sumN + n * po
    end

    return (1 / sumN)
end

function c_from_p(p)
    local cu = p
    local cl = 0.0
    local cm
    local p1, p2 = 0, 1
    while true do
        cm = (cu + cl) / 2
        p1 = p_from_c(cm)
        if math.abs(p1 - p2) <= 0.000000001 then -- 如果发生的概率足够小，那么认为已经找到了对应的c
            break
        end

        if p1>p then cu = cm else cl = cm end
        p2 = p1
    end
    return cm
end

具体的使用上，我们需要在技能里面用个变量来储存连续失败的次数，之后随机的时候再使用伪随机数来计算发生的概率。

function my_ability:OnSpellStart()
    if self.nFails == nil then self.nFails = 1 end
    local c = c_from_p(0.20)
    local success = RollPercentage(c*100*self.nFails)
    if success then
        -- 执行具体的操作
        self.nFails = 1
    else
        self.nFails = self.nFails + 1
    end
end

这个算法可能出现的问题：

1. 在大概率事件的时候，不建议使用这个算法，因为如果一个70%的事件以57%的概率进行第一次计算的话，会出现很大的误差，基本上就是第一次57%，第二次100%。
2. 如果事件出现的数量很少的话，比如说10%的事件整个游戏过程只会出现个三四次的话，那么就纯随机就好了。

当然，最适合的算法就是各种抽奖算法啦，能够稍微保护一下非酋的体验。
之前炉石不是有个更新说，新手的30包必定出橙嘛，就暴露了一个事实，无良暴雪一开始的开包就是纯随机的，有了这个更新才变成的伪随机，难怪我一直玩的是炉石稀有。