波动学基础提纲

波动学基础

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• 波动/波：振动状态的传输过程
• 机械波：机械振动在介质中传播
• 电磁波：变化电场和变化磁场在空间的传播

&12.1 机械波的产生和传播

机械波的形成

• 产生原因：机械振动在弹性介质内传播

• 产生的两个条件：

  1. 激发扰动的波源
  2. 能够传播这种机械振动的介质

• 别称：“行波”

• 按质点振动方向与波传播方向分：

  1. 横波：两方向垂直
  2. 纵波：两方向平行

• 按波面形状分：

  1. 平面波
  2. 球面波
  3. 柱面波

• 波的传播特征：

  1. 介质中各质点仅在各自的平衡位置附近振动
  2. 介质中各质点将依次振动
  3. 波动伴随着能量的传播

• 脉冲波：只有一个波峰的波

• 简谐波：若波源作简谐运动，介质中各质点也作简谐振动，这时的波动称为简谐波

• 常见概念：

  • 波阵面（波面、同相面）：波动过程中振动相位相同的点组成的面
  • 波前：最前面的波面
  • 波线：代表波的传播方向的直线（在各项同性的 介质中，波线垂直于波面）

描述波动的物理量

• 波长u：同一波线上两个相邻的，相位差为\(2\pi\)的振动质点之间的距离
• 波的周期T：波前进一个波长的距离所需要的时间
• 波速\(\lambda\)：单位时间内某一振动状态传播的距离

物理量之间的关系有：

\[ u=\nu\lambda = \frac{\lambda}{T} \]

&12.2 平面简谐波的波函数

波函数的建立

• 波函数（波动表达式）：特定时间上，传播方向上的任意位置质点的位移的函数
• 平面简谐波：波阵面为平面的简谐波
• 平面简谐行波的波动表达式（沿x轴正方向传播的平面简谐行波的波函数）：

\[ y(x,t)=Acos\omega(t-\frac{x}{u})=Acos\left[\omega \left(t\mp\frac{x-x_0}{u} \right)+\varphi \right]\qquad \omega =\frac{2\pi}{T},u=\frac{\lambda}{T} \]

• 角波速 k：\(k=\frac{2\pi}{\lambda}\)，可以理解成\(2\pi\)长度内包含的“完整波”的个数

波函数物理意义

• 已知波动表达式时，两定点\(x_1\)和\(x_2\)振动的相位差为：

\[ \Delta \varphi = \varphi_1-\varphi_2=\left(-\frac{\omega x_1}{u} \right)-\left(-\frac{\omega x_2}{u} \right) = \frac{2\pi}{\lambda}(x_2-x_1) \]

• 波形图：某时刻波的瞬照
• 简谐纵波波长：相邻两疏部（或密部）中心的距离

&12.3 波动方程与波速

物体的弹性形变

• 弹性限度：在这一个限度内的力作用于物体发生的形变，去掉外力时物体不发生变化
• 弹性形变：在弹性限度内的形变

形变类型

线变

• 正应力：物体单位垂直截面上所受外力\(F/S\)叫做正应力
• 线应变：物体长度的相对变化量\(\Delta l/l\)
• 杨氏模量_E：

\[ \frac{F}{S}=E\frac{\Delta l}{l} \]

切变

• 切应力：当物体受到与其侧面平行的力发生形变时，外力\(F\)与施力截面\(S\)之比叫做切应力
• 切应变：反映材料切变的量\(\Delta d/D\)，其中\(\Delta d\)为增加的长度，D为截面的宽
• 切变模量_G：

\[ \frac{F}{S}=G\frac{\Delta d}{D} \]

体变

• 体应变：物体周围受到的压强改变时，体积的相对变化量\(\Delta V/V\)
• 体积模量_K：

\[ \Delta p=-K\frac{\Delta V}{V} \]

以上模量只由材料性质决定的

波动方程

• 平面波的波动
• 方程

\[ \frac{\partial^2y}{\partial x^2}=\frac{\rho}{E}\frac{\partial^2y}{\partial t^2}=\frac{1}{u^2}\frac{\partial^2y}{\partial t^2} \]

• 波速_u

\[ \frac{\rho}{E}=\frac{1}{u^2} \]

• 平面简谐波的波动方程

\[ y(x,t)=A\cos2\pi\left(\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda}\right)=A\cos\frac{2\pi}{\lambda}(x-ut) \]

决定波速的因素

• 固体纵波波速

\[ u_L=\sqrt{\frac{E}{\rho}} \]

• 固体横波波速

\[ u_T=\sqrt{\frac{G}{\rho}} \]

• 拉紧的细线横波波速

\[ u_T=\sqrt{\frac{F}{\rho_l}}\qquad【\rho_l为质量线密度】 \]

• 液体和气体的纵波波速

\[ u_L=\sqrt{\frac{K}{\rho}} \]

• 理想气体的波速/声波波速

\[ u_L=\sqrt{\frac{p\gamma}{\rho}}=\sqrt{\frac{\gamma RH}{M}} \]

&12.4 波的能量

介质元的能量

• 预设：
  • 体积：\(\Delta V\)
  • 密度：\(\rho\)
• 公式：

\[ dE=dE_k+dE_p=\rho \omega^2A^2dV\sin^2\omega\left(t-\frac{x}{u}\right) \]

• 特点：介质元内的动能和弹性势能在任一时刻都相等，二者变化同相，某时刻它们同时达到最大值，另一时刻又同时达到最小值
  • 原因：与相邻介质元有能量交换，机械能不守恒

波的能量密度和能流密度

• 能量密度_\(w\)：单位体积内波的能量
• 公式：

\[ w=\frac{dE}{dV}=\rho \omega^2A^2\sin^2\omega\left(t-\frac{x}{u}\right) \]

• 能量密度平均值：

\[ \overline{w}=\frac{1}{2}\rho A^2\omega^2 \]

• 能流密度/波的强度_\(I\)：在单位时间（\(1s\)）内通过垂直于波线方向的单位面积上波的平均能量
• 单位：\(W·m^{-2}\)
• 公式：

\[ I=\frac{\overline{w}uS}{S}=\frac{1}{2}\rho A^2\omega^2u=\frac{\overline{P}}{S} \]

 * 波动光学中称为光的强度/光强

波的吸收

• 波的吸收/波的衰减：介质在波的传输过程中总要吸收一部分波的能量，波的能流密度将随着振幅的减弱而逐渐减小
• 公式：
  • 介质的吸收系数：\(\alpha\)
    • x=0处波的强度：\(I_0\)
    • x处波的强度：$I $

\[ I=I_0e^{-2\alpha x} \]

球面波的波函数

\[ y=\frac{C}{r}\cos\left[\omega\left(t-\frac{r}{u}\right)+\varphi\right]\qquad 【C为r=1时该处的振幅】 \]

&12.5 惠更斯原理

• 原理内容：介质中波动传播到达的各点，都可以看做是发射子波的波源，在其后任一时刻，这些子波波面的包络面就是新的波前
  • 在各向同性介质中，子波为半球形
  • 在各向异性介质中，子波为椭球面
• 应用：解释波的衍射现象、推导折射定律

&12.6 波的叠加原理 波的干涉

波的叠加

• 波传播的独立性原理：当几列波在介质中传播时，无论是否相遇，每列波都保持自己原有的振动特性（频率、波长、振动方向……），并按自己原来的传播方向继续前进，不受其他波的影响，这叫做波传播的独立性原理
• 波的叠加原理：相遇处质点振动的位移是各列波单独存在时在该点引起的位移的矢量和

波的干涉

• 干涉现象：两列频率相同，振动方向相同，相位差恒定的波在空间上传播总有一些点振动始终加强，一些点振动始终减弱
• 波程差_\(\delta\)：相干波经过的几何路程差
• 若\(\varphi_1=\varphi_2\)时：
  • 相互加强：\(\delta =2k·\frac{\lambda}{2}\)
  • 相互减弱：\(\delta =(2k+1)·\frac{\lambda}{2}\)

&12.7 驻波

驻波

• 驻波：两列振幅相同的相干波相向传播时叠加而成的波
  • 波节：始终静止不动的点
  • 波腹：振幅最大的点
• 驻波波函数：

\[ y=\left(2A\cos\frac{2\pi}{\lambda}x\right)\cos2\pi vt \]

• 特殊位置：
  • 波腹位置：\(x=\pm k\frac{\lambda}{2},\quad k=0,1,2,...\)
  • 波节位置：\(x=\pm (2k+1)\frac{\lambda}{4},\quad k=0,1,2,...\)
  • 相邻波腹/波节的长度：\(\frac{\lambda}{2}\)
• 特点：
  • 波形不传播，驻波不传播能量
  • 同一段上的各点的振动相向，相邻两段中的各点的振动反相

半波损失

• 产生原因：固定点反射波时，入射波与反射波在此处的相位恰好相反，反射波相位跃变了\(\pi\)，即突然增加/减少了半个波长的现象
  • 若在自由端，在反射端点就会形成波腹，无版半波损失
• 波密介质：\(\rho u\)较大的介质
• 波疏介质：\(\rho u\)较小的介质
• 两介质面处反射特点：
  • 波疏介质到波密介质：有半波损失
  • 波密介质到波疏介质：无半波损失

简正模式

• 在长为L、两端固定的弦线上，波长\(\lambda_n\)必须满足以下条件：

\[ L=n\frac{\lambda_n}{2},\quad n=1,2,3,··· \]

• 弦振动的本征频率：

\[ v_n=n\frac{u}{2L},\quad n=1,2,3,··· \]

• 简正模式：本征频率对应的振动方式
• 基频：最低的本征频率
• 谐频：除了基频外的本征频率

&12.8 多普勒效应

• 多普勒效应：频率随波源与观测者运动而改变的现象
• 当有以下条件时
  • 波源相对介质运动速度\(v_s\)，靠近观测者为正
  • 观测者相对介质运动速度\(v_0\)，靠近波源为正
  • 波速\(u\)
  • 接收到的频率有：

\[ \nu'=\nu\left(\frac{u+v_0}{u-v_s}\right) \]

&12.9 声波

声波

• 声波：频率$\in$20Hz~20000Hz
• 超声波：频率>20000Hz
• 次声波：频率<20Hz

声压

• 静声压：介质中无声波传播时的压强
• 声压：当声波在介质中传输时该点的压强与静压强之差
• 声压表达式：
  • 声压振幅：\(p_m=\rho uA\omega\)
  • 有效声压：\(p_a=\frac{p_m}{\sqrt{2}}\)

\[ p=\rho uA\omega\cos\left[\omega\left(t-\frac{x}{u}\right)-\frac{\pi}{2}\right] \]

声强

• 定义：就是声波的平均能流密度
• 与声压关系：

\[ I=\frac{1}{2}\frac{p_m^2}{\rho u}=\frac{p_a^2}{\rho u} \]

&12.10 电磁波

• 电磁波波速：
  • 介质介电常量：\(\varepsilon\)
  • 介质磁导率：\(\mu\)

\[ u=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon\mu}} \]

• 特性：电磁波是横波
• 电场强度E与磁场强度H之间的关系：

\[ \sqrt{\varepsilon}E=\sqrt{\mu}H \]

• 坡印廷矢量：\(S=wu=E\times H\)
• 电磁波的强度：

\[ I=\overline{S}=\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}\overline{E^2} \]