loj #2510. 「AHOI / HNOI2018」道路

#2510. 「AHOI / HNOI2018」道路

题目描述

W 国的交通呈一棵树的形状。W 国一共有 $\mathrm{n-1 个城市和 nnn 个乡村，其中城市从 111 到 n-1 编号，乡村从 111 到 nnn 编号，且 111 号城市是首都。道路都是单向的，本题中我们只考虑从乡村通往首都的道路网络。对于每一个城市，恰有一条公路和一条铁路通向这座城市。对于城市 iii，通向该城市的道路（公路或铁路）的起点，要么是一个乡村，要么是一个编号比 iii 大的城市。没有道路通向任何乡村。除了首都以外，从任何城市或乡村出发只有一条道路；首都没有往\; 外的道路。从任何乡村出发，沿着唯一往外的道路走，总可以到达首都。}$

W 国的国王小 W 获得了一笔资金，他决定用这笔资金来改善交通。由于资金有限，小 W 只能翻修 $\mathrm{n-1 条道路。小\; W\; 决定对每个城市翻修恰好一条通向它的道路，即从公路和铁路中选择一条并进行翻修。小\; W\; 希望从乡村通向城市可以尽可能地便利，于是根据人口调查的数据，小\; W\; 对每个乡村制定了三个参数，编号为 iii 的乡村的三个参数是 aia\_iai，bib\_ibi 和 cic\_ici。假设从编号为 iii 的乡村走到首都一共需要经过 xxx 条未翻修的公路与 yyy 条未翻修的铁路，那么该乡村的不便利值为}$

ci⋅(ai+x)⋅(bi+y)c_i \cdot (ai + x) \cdot (bi + y)c​i​​⋅(ai+x)⋅(bi+y)

在给定的翻修方案下，每个乡村的不便利值相加的和为该翻修方案的不便利值。

翻修 $\mathrm{n-1 条道路有很多方案，其中不便利值最小的方案称为最优翻修方案，小\; W\; 自然希望找到最优翻修方案，请你帮助他求出这个最优翻修方案的不便利值。}$

输入格式

第一行为正整数 nnn。 接下来 $\mathrm{n-1 行，每行描述一个城市。其中第 iii 行包含两个数 si,tis\_i,\; t\_isi,ti。sis\_isi 表示通向第 iii 座城市的公路的起点，tit\_iti 表示通向第 iii 座城市的铁路的起点。如果 si>0s\_i\; >\; 0si>0，那么存在一条从第 sis\_isi 座城市通往第 iii 座城市的公路，否则存在一条从第 -si-s\_i-si 个乡村通往第 iii 座城市的公路；tit\_iti 类似地，如果 ti>0t\_i\; >\; 0ti>0，那么存在一条从第 tit\_iti 座城市通往第 iii 座城市的铁路，否则存在一条从第 -ti-t\_i-ti 个乡村通往第 iii 座城市的铁路。}$

接下来 nnn 行，每行描述一个乡村。其中第 iii 行包含三个数 ai,bi,cia_i, b_i, c_ia​i​​,b​i​​,c​i​​，其意义如题面所示。

输出格式

输出一行一个整数，表示最优翻修方案的不便利值。

样例

样例输入 1

6
2 3
4 5
-1 -2
-3 -4
-5 -6
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1

样例输出 1

54

样例解释 1

如图所示，我们分别用蓝色、黄色节点表示城市、乡村；用绿色、红色箭头分别表示公路、铁路；用加粗箭头表示翻修的道路。

一种不便利值等于 545454 的方法是：翻修通往城市 222 和城市 555 的铁路，以及通往其他城市的公路。用→\rightarrow→和⇒\Rightarrow⇒表示公路和铁路，用${\mathrm{\ast \to 和\ast \Rightarrow 表示翻修的公路和铁路，那么：}}^{}$

• 编号为 111 的乡村到达首都的路线为：$-1\ast \to 3\Rightarrow 1，经过 000 条未翻修公路和 111 条未翻修铁路，代价为 3\times (1+0)\times (2+1)=93\; \backslash times\; (1\; +\; 0)\; \backslash times\; (2\; +\; 1)\; =\; 93\times (1+0)\times (2+1)=9；$
• 编号为 222 的乡村到达首都的路线为：$-2\Rightarrow 3\Rightarrow 1，经过 000 条未翻修公路和 222 条未翻修铁路，代价为 2\times (1+0)\times (3+2)=102\; \backslash times\; (1\; +\; 0)\; \backslash times\; (3\; +\; 2)\; =\; 102\times (1+0)\times (3+2)=10；$
• 编号为 333 的乡村到达首都的路线为：$-3\ast \to 4\to 2\ast \to 1，经过 111 条未翻修公路和 000 条未翻修铁路，代价为 3\times (2+1)\times (1+0)=93\; \backslash times\; (2\; +\; 1)\; \backslash times\; (1\; +\; 0)\; =\; 93\times (2+1)\times (1+0)=9；$
• 编号为 444 的乡村到达首都的路线为：$-4\Rightarrow 4\to 2\ast \to 1，经过 111 条未翻修公路和 111 条未翻修铁路，代价为 1\times (2+1)\times (3+1)=121\; \backslash times\; (2\; +\; 1)\; \backslash times\; (3\; +\; 1)\; =\; 121\times (2+1)\times (3+1)=12；$
• 编号为 555 的乡村到达首都的路线为：$-5\to 5\ast \Rightarrow 2\ast \to 1，经过 111 条未翻修公路和 000 条未翻修铁路，代价为 2\times (3+1)\times (1+0)=82\; \backslash times\; (3\; +\; 1)\; \backslash times\; (1\; +\; 0)\; =\; 82\times (3+1)\times (1+0)=8；$
• 编号为 666 的乡村到达首都的路线为：$-6\ast \Rightarrow 5\ast \Rightarrow 2\ast \to 1，经过 000 条未翻修公路和 000 条未翻修铁路，代价为 1\times (3+0)\times (2+0)=61\; \backslash times\; (3\; +\; 0)\; \backslash times\; (2\; +\; 0)\; =\; 61\times (3+0)\times (2+0)=6；$

总的不便利值为 9+10+9+12+8+6=549 + 10 + 9 + 12 + 8 + 6 = 549+10+9+12+8+6=54。可以证明这是本数据的最优解。

样例输入 2

9
2 -2
3 -3
4 -4
5 -5
6 -6
7 -7
8 -8
-1 -9
1 60 1
1 60 1
1 60 1
1 60 1
1 60 1
1 60 1
1 60 1
1 60 1
1 60 1

样例输出 2

548

样例解释 2

在这个样例中，显然应该翻修所有公路。

样例输入 3

12
2 4
5 3
-7 10
11 9
-1 6
8 7
-6 -10
-9 -4
-12 -5
-2 -3
-8 -11
53 26 491
24 58 190
17 37 356
15 51 997
30 19 398
3 45 27
52 55 838
16 18 931
58 24 212
43 25 198
54 15 172
34 5 524

样例输出 3

5744902

数据范围与提示

共 202020 组数据，编号为 $\mathrm{1\sim 20。}$

对于编号 ≤4\le 4≤4 的数据，n≤20n \le 20n≤20；

对于编号为 $\mathrm{5\sim 8 的数据，ai,bi,ci\le 5，n\le 50；}$

对于编号为 $\mathrm{9\sim 12 的数据，n\le 2000n\; \backslash le\; 2000n\le 2000；}$

对于所有的数据，n≤20000n \le 20000n≤20000，1≤ai,bi≤601 \le a_i, b_i \le 601≤a​i​​,b​i​​≤60，1≤ci≤1091 \le c_i \le 10^91≤c​i​​≤10​9​​，si,tis_i, t_is​i​​,t​i​​ 是 $[-n,-1]\cap (i,n-1] 内的整数，任意乡村可以通过不超过 404040 条道路到达首都。$

 

 

#include
#include
#include
#define maxn 50
using namespace std;
int map[maxn][maxn];
int n,m,head[maxn],num,a[maxn],b[maxn],c[maxn],son[maxn][2];
struct node{int to,pre,v,w;}e[maxn*maxn];
void Insert(int from,int to,int w){
    e[++num].to=to;
    e[num].w=w;
    e[num].pre=head[from];
    head[from]=num;
}
int cnt[maxn][2];
long long ans=1000000000000000;
void dfs(int x,int cnt0,int cnt1){
    if(x<=n){
        cnt[x][0]=cnt0;
        cnt[x][1]=cnt1;
    }
    for(int i=head[x];i;i=e[i].pre){
        int to=e[i].to;
        if(e[i].w==0&&e[i].v==0)dfs(to,cnt0+1,cnt1);
        else if(e[i].w==1&&e[i].v==0)dfs(to,cnt0,cnt1+1);
        else dfs(to,cnt0,cnt1);
    }
}
long long count(int sta){
    for(int i=1;i){
        if(sta&(1<<(i-1))){//连向右孩子的边被重建
            e[map[i+n][son[i+n][0]]].v=0;
            e[map[i+n][son[i+n][1]]].v=1;
        }
        else {//连向左孩子的边被重建
            e[map[i+n][son[i+n][0]]].v=1;
            e[map[i+n][son[i+n][1]]].v=0;
        }
    }
    dfs(n+1,0,0);
    long long res=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        res+=1LL*c[i]*(a[i]+cnt[i][0])*(b[i]+cnt[i][1]);
    }
    return res;
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    m=n+n-1;
    int x,y;
    for(int i=1;i){
        scanf("%d%d",&x,&y);
        if(x<0)x=-x;
        else x+=n;
        if(y<0)y=-y;
        else y+=n;
        son[i+n][0]=x;son[i+n][1]=y;
        Insert(i+n,x,0);map[i+n][x]=map[x][i+n]=num;
        Insert(i+n,y,1);map[i+n][y]=map[y][i+n]=num;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d%d",&a[i],&b[i],&c[i]);
    for(int i=0;i<(1<<(n-1));i++){
        ans=min(ans,count(i));
    }
    cout<endl;
    return 0;
}

20分 暴力

#include
#include
#include
#define maxn 20010
using namespace std;
int n,son[maxn][2];
long long f[maxn][50][50];
struct node{long long x,y,z;}a[maxn];
long long dfs(int x,int p,int q){
    if(x>=n){
        int now=x-n+1;
        return a[now].z*(a[now].x+p)*(a[now].y+q);
    }
    if(f[x][p][q]!=f[n+1][41][41])return f[x][p][q];
    return f[x][p][q]=min(dfs(son[x][0],p,q)+dfs(son[x][1],p,q+1),dfs(son[x][1],p,q)+dfs(son[x][0],p+1,q));
}
int main(){
    int x,y;
    scanf("%d",&n);
    memset(f,127,sizeof(f));
    for(int i=1;i){
        scanf("%d%d",&x,&y);
        if(x<0)x=-x+n-1;
        if(y<0)y=-y+n-1;
        son[i][0]=x;
        son[i][1]=y;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%lld%lld%lld",&a[i].x,&a[i].y,&a[i].z);
    printf("%lld\n",dfs(1,0,0));
    return 0;
}

100分 树形dp