Pseudo-random algorithm: prd and rsa based

计算机产生的大多数随机数都是伪随机数。是按照分布概率产生随机数字的过程，数字在概率分布上满足随机要求，但实际上是计算机通过随机函数模拟产生的。生成的方法包括直接法、逆转法、接受拒绝法等。本篇要介绍的是prd伪随机算法和基于rsa的伪随机算法。

Pseudo Random Distribution

这种伪随机算法在游戏中的应用非常广泛。游戏希望角色间应互相制衡，同时为增加游戏的不确定性，故引入了随机概念，如暴击率、回避率等都是一个随机概率的表现。prd伪随机算法能够尽量使触发事件的情况均匀地分布在多次事件中，从而避免了连续多次的暴击或回避，也可以减少长时间不暴击情况的发生。

实际上Pseudo Random Distribution是来自Warcraft3引擎，同时在dota2中得到了发扬。prd伪随机算法是计算触发角色特殊能力的概率的算法。对于普通的伪随机算法，我们能够发现，每次触发事件的概率都相同。但对于prd伪随机算法而言，每次触发事件的概率却不相同，它会随着暴击事件或非暴击事件的触发而改变。但在均摊概率上来说，却是满足角色能力要求的，也是满足随机概率要求的。

一定程度上prd算法改善了暴击的发生的频次和分布，使其更为均匀，从而保证了游戏的公平性和趣味性。

具体实现

• prd的工作机制大致如下：触发事件的概率会随着未触发事件发生的次数增加而增加，直到100%。另一方面，当触发一次事件后（如暴击事件），紧接着下一次动作触发事件的概率会明显地低于平均概率p，这也是为了防止多次触发事件。
• 实验发现，采用prd伪随机算法和普通的伪随机算法，后者多次连续触发事件的概率高于前者，也就是说，prd算法试验中“极为幸运”或“极为不幸”的事件很少发生。但对于总体而言，二者的均摊概率是相同的。
• 如未触发事件，每次的增量概率应该是游戏中预先计算好的，保存在一张表中。之所以不在游戏中计算，是因为prd算法获得增量概率的计算量和所需时间要多余普通的随机算法。在Warcraft3中增量概率步长为5%，但这对触发概率大于15%的事件而言是不正确的。
• 对于有些动作是不能出发概率增加的，如对防御塔的攻击。

wiki中给出了prd的计算结果表。

P(T)	P(A)	C	Max N	Most Probable N	Average N	SD	SDt
5%	5%	0.00380	264	16	20.00	10.30	19.53
10%	10%	0.01475	68	8	10.00	5.06	9.50
...	...	...	...	...	...	...	...
75%	63.2%	0.46134	3	2	1.58	0.57	0.96
80%	66.7%	0.50276	2	1	1.50	0.5	0.87

正如上表给出的结果。PT为理论概率，PA为实际均摊概率，C时prd常数（增量概率），Max N是达到100%所需次数，Most Probable N为触发事件最有可能的次数，Average N是触发事件平均次数，SD为N的理论标准差，SDt为普通随机算法的标准差。由此可见，该伪随机算法一定程度上降低了离散程度，使得游戏更为公平。

伪随机与加密算法

网上看到可以用rsa生成伪随机数。命题如下：如何生成1亿个不重复的伪随机数。显然用普通的随机算法效率太低。但仔细想来，生成伪随机数如果不重复的话，就是一个打乱的过程。这就可以用到rsa这种目前被广泛应用的加密算法。

具体的操作步骤如下：

• a = (b ^ c) mod (m * n);
• (c * d) mod ((m - 1) * (n - 1)) = 1
• b = (a ^ d) mod (m * n)

上式中，m、n、c为素数。由第一条和第三条等式可以得出，a和b是一一对应的映射。由此可以由有序的序列A={a1,a2,a3,...,an}派生出随机序列B={b1,b2,b3,...,bn}。其中，m、n、c都是事先确定的常数，它们满足第二条等式，如m=3，n=5，c=3，满足等式(3 * 3) mod (2 * 4) = 1。

不妨对2到9之间的数字生成伪随机数。

2	3	4	5	6	7	8	9
8	12	4	5	6	13	2	9

对于这种生成不重复伪随机数的方法有几个前提要求。上面的m和n不能够相同，也就是说它们必须是不同的素数。同时，d和(m-1)*(n-1)的最大公因数为1。

参考

本文参考了Pseudo-random distribution以及生成伪随机数的超级算法。