生成函数(严重残缺)

生成函数学习笔记

1. 二项式定理

\[ (a + b) ^ k = \sum_{i=1}^{\infty}C_n^ia^ib^{n-i} \]

广义二项式定理

\[ (1 + x)^a = \sum_{i=0}^{\infty}C_a^ix^i \]

a可以为任意实数

2. 运算法则

普通的运算

加减就是直接系数相加

乘上一个数就是每个系数都乘这个数

生成函数乘生成函数 ， 卷积

移位

乘上一个\(x^m\) 就是右移m位 （系数右移） ， 可以想一下\(x^1\) 的系数移动到了 \(x^{1+m}\) 上

左移同理就是乘上\(\displaystyle \frac{1}{x^m}\)

积分与求导

积分是求到的逆运算

常用的式子（背过）

\[ 1)\huge \sum_{n >= 0}[n = m]x^n = x^m \\ 2)\huge \sum_{x>=0}x^n = \frac{1}{1-x}\\ 3)\huge \sum_{n>=m}x^n=\frac{x^m}{1-x}\\ 4)\huge \sum_{n>=0}c^nx^n=\frac{1}{1-cx}\\ 5)\huge \sum_{n>=0}C_{n-k+1}^nx^n=\frac{1}{{1-x}^k}\\ 6)\huge \sum_{n>=0}\frac{c^nx^n}{n!}=e^{cx}\\ 7)\huge \sum_{n>0}\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n=ln(1+x)\\ 8)\huge \sum_{n>0}\frac{1}{n}x^n=ln\frac{1}{1-x} \]