拉格朗日乘子法和KKT条件

拉格朗日乘子法

KKT条件

不等式约束条件
设目标函数f(x)，不等式约束为g(x)，有的教程还会添加上等式约束条件h(x)。此时的约束优化问题描述如下：

则我们定义不等式约束下的拉格朗日函数L，则L表达式为：

其中f(x)是原目标函数，hj(x)是第j个等式约束条件，λj是对应的约束系数，gk是不等式约束，uk是对应的约束系数。0
此时若要求解上述优化问题，必须满足下述条件（也是我们的求解条件）：

这些求解条件就是KKT条件。(1)是对拉格朗日函数取极值时候带来的一个必要条件，(2)是拉格朗日系数约束（同等式情况），(3)是不等式约束情况，(4)是互补松弛条件，(5)、(6)是原约束条件。
对于一般的任意问题而言，KKT条件是使一组解成为最优解的必要条件，当原问题是凸问题的时候，KKT条件也是充分条件。