【数学游戏】三角形的高

昨天晚上和冬冬玩儿了一会儿数学，灰常灰常开心!

啥有意思的游戏呢？跟大家分享一下吧!

本来呢，我们是从三角形的面积聊起来的，因为冬冬在评估题挑战单的最后提出了这个问题。

于是我们想办法，在已经会求面积的长方形，和不会求面积的三角形之间建立联系，成功发现了直角三角形的面积求法。

一个长方形切割成两个完全一样的直角三角形

具体过程省略了，同时涉及的直角三角形各边的命名，等腰三角形各边各角的命名，全部顺便就带出来了。过程中还不可避免地涉及了三角形高的问题，冬冬竟然无意识的就在用“高”这个命名。于是，讨论的主题一下子转到了三角形的高上面。

冬冬很敏感地发现，直角三角形的高刚好就是它的两条直角边!

先让这个直角三角形最短的一条直角边“站立”在桌子上（真的把三角形立起来），怎么给它量身高呢？太简单啦!较长的直角边就是它的高!（如下图）

直角三角形的底和高1

再让较长的一条直角边“站立”在桌子上，怎么给它量身高呢？当然是较短的直角边啦!（如下图）

直角三角形的底和高2

如果我让它的斜边“站立”在桌子上呢？它的高在哪里呢？还是难不倒冬冬，没有三角板也没关系，借助一张有直角的纸片也可以比着画出来（虽然有点歪）!它是经过直角顶点到斜边的垂线段。（如下图）

直角三角形的底和高3

问：一个三角形可以有几个高？

冬冬：三个，而且它们不一样!

问：有没有可能一个三角形的三个高是一样高的？

冬冬：有，等边三角形!它无论怎么站都是一样高的!

问：还有没有比较特殊的？

冬冬：等腰三角形!我猜它有两个高是一样的!

问：怎么验证呢？

冬冬：可以画出来，量一量。

等腰三角形底边上的高（图中折痕）

如法炮制，冬冬很快画出了两腰上的高。（如下两图）

等腰三角形腰上的高1

等腰三角形腰上的高2

没有直尺，也没关系，正好带了圆规，用圆规也可以量。哇!真的一样长哦!

冬冬：我发现，它们正好都相交在这一个点上了!（特意把那个交点描得显眼一点）

问：哇!这么神奇！你觉得其他三角形会不会也有这样的特点？

冬冬：不一定吧，有可能会两个两个相交，然后它们又围成一个小三角形。

（这个问题暂时搁置，先放另一个大招!）

问：刚才我们探索了哪两个（类）三角形的高？

冬冬：直角三角形，和锐角三角形。

（关于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的讨论略掉。）

问：还有哪类三角形没探索？

冬冬：钝角三角形。

问：哈，超级挑战来啦！你能找到它的高吗？

冬冬轻松找到第一条（如下图）。

钝角三角形的高1

第二条就没那么容易了。

冬冬让一条钝角边站立在桌面上，念叨好几遍：可是这个角不是直角啊！

于是她想这样画：

钝角三角形的高（典型问题）

我是这样跟冬冬讲的。

问：你量身高的时候，那个仪器是怎么测量的？

冬冬：一个东西卡在我头顶上量。

问：卡在你肩膀上测量行吗？

冬冬：当然不行啦！

问：得测量你最高的位置对吧？假如这个三角形是一座山立在这里，很显然左边是悬崖，我们只能从右边爬上去。爬到哪里才是最高点呢？

冬冬：最高的顶点那里呀！

问：那你测量这座山的高度得从哪儿量？能从半截量吗？

冬冬：从最高点……可是这个角不是直角呀？

问：现在这样的确不太好办，如果我把这个三角形贴在另一张纸上，或者画在另一张纸上呢？

冬冬：可以！

（借助手边可以用的各种物品当尺子，画出下图中的底边延长线和高）

钝角三角形的高2

冬冬：它跑到外面来了！

问：还有什么情况？

冬冬：让最短的边站立。

画图如下：

钝角三角形的高3

今天，冬冬用了半天时间自己整理成了小论文，其中有些很好玩儿的细节我还是想记录下来，所以另外整理了一下。

讨论过程中没有明确地把“底”和“高”对应着命名，一个小遗憾。