数学复习(1)

傅里叶为什么选择了正弦波,而不选择方波或其他波形?
正弦波有其他波形所不具备的特点:正弦波输入至任何线性系统,出来的还是正弦波,改变的仅仅是幅值和相位,即正弦波输入至线性系统,不会产生新的频率成分(非线性系统如变频器,就会产生新的频率成分,成为谐波)。
线性系统是自动控制研究的主要对象,线性系统具备一个特点,多个正弦波叠加后输入至一个线性系统,其输出是所有正弦波独立输入时对应输出的叠加。
用单位幅值的不同频率的正弦波输入至线性系统,记录其输出正弦波的幅值和频率的关系,就得到该系统的幅频特性,记录输出正弦波的相位和频率的关系,就得到该系统的相频特性。
 
傅里叶最初论断:
任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。
 
无限数量的正弦曲线组合可以无限逼近有棱角的信号(如方波)。
 
傅里叶论断扩展:
满足一定条件的函数可以表示成三角函数(正余弦)或者它们的积分的线性组合。
电参量测量中遇到的周期信号都满足“一定条件”。
 
在电学中的傅里叶变换:
任意周期信号可以分解为直流分量和一组不同幅值、频率、相位的正弦波。
并且这些正弦波的频率有一个规律:是某个频率的整数倍。这个频率就称为“基波频率”,其他频率称为“谐波频率”,如果谐波的频率是基波频率的N倍,就称为“N次谐波”。
直流分量频率为0,是基波频率的零倍,也可称为“零次谐波”。
 
 
 
正弦函数 正交性:
任意两个不同频率的正弦波的乘积,在两者的公共周期内的积分等于零。
数学复习(1)_第1张图片
数学复习(1)_第2张图片
数学复习(1)_第3张图片
 
 
 
相同频率的正弦波,
当相位差为90º时(正交),在一个周期内二者乘积的积分值等于零;
当相位相同时,积分值最大,等于两者有效值的乘积;
当相位相反时,积分值最小,等于二者有效值的乘积取反。

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