[再寄小读者之数学篇](2014-06-20 积分号下求导)

设 $f\in C(-\infty,+\infty)$, 定义 $\dps{F(x)=\int_a^b f(x+t)\cos t\rd t}$, $a\leq x\leq b$. (1) 证明: $F$ 在 $[a,b]$ 上可导; (2) 计算 $F'(x)$.  

 

解答: 由 $$\bex F(x)=\int_{x+a}^{x+b} f(s)\cos (s-x)\rd t \eex$$ 即知 $$\beex \bea F'(x)&=\int_{x+a}^{x+b} f(s)\sin (s-x)\rd s +f(x+b)\cos b-f(x+a)\cos a\\ &=\int_a^b f(x+t)\sin t\rd t+f(x+b)\cos b-f(x+a)\cos a. \eea \eeex$$