[再寄小读者之数学篇](2014-07-16 凹函数与次线性性)

设 $f$ 在 $[0,c]$ 上连续, $f(0)=0$, 且当 $x\in (0,c)$ 时, $f''(x)<0$. 试证: 当 $0<a<b<a+b<c$ 时, $$\bex f(a+b)<f(a)+f(b). \eex$$

 

证明: 对固定的 $b>0$, 令 $$\bex F(x)=f(x+b)-f(x)-f(b), \eex$$ 则 $F(0)=0$; 且由 $f''(x)<0$ 知 $$\bex F'(x)=f'(x+b)-f'(x)<0. \eex$$ 于是 $$\bex F(a)<F(0)=0. \eex$$