[数学建模第一讲] 层次分析法AHP

层次分析法AHP

建模比赛中最基础的模型之一，主要用于解决评价类问题，比如：

• 选择哪种方案最好
• 哪位运动员/员工表现优秀

AHP的主要特点是通过建立递阶层次结构，把人类的判断转化到若干因素两两之间重要度的比较上，从而把难于量化的定性判断转化为可操作的重要度的比较上面。

例题：

去哪玩-题目.png

首先考虑三个问题：

• 目标
  • 为小明同学选择最佳的旅游景点
• 可选方案
  • 三种，分别是去苏杭、去北戴河和去桂林
• 评价准则
  • 景色、花费、居住、饮食、交通

步骤

1.分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构

层次结构图.png

2. 构造判断矩阵-计算指标权重和方案权重

• 两两比较，用标度表示满意程度

• 指标权重

指标权重图.png

• 方案判断矩阵：对每个不同的指标作判断矩阵，比较不同方案的满意度

  

  景色判断矩阵.png

其他方案判断矩阵.png

3. 对判断矩阵进行一致性检验

• 只有满足一致性检验的判断矩阵才能进行下一步：计算权重

• 不满足的需要对判断矩阵进行修改，直到满足检验(CR < 0.1)

  • 一致矩阵：

    

    一致矩阵.png
    

    image.png

• 判断矩阵越不一致时，最大特征值与n相差就越大

一致性检验的步骤：

• 计算一致性指标CI，lambda取最大特征值，n为行数（行数=列数）

• 查找对应的平均随机一致性指标RI

平均随机一致性指标RI.png

• 计算一致性比例CR

如果CR < 0.1, 则可认为判断矩阵的一致性可以接受；否则需要对
判断矩阵进行修正

4.判断矩阵计算权重

方法一：算术平均法求权重

方法一 算数平均法.png

方法二：几何平均法求权重

方法二.png

方法三：特征值法求权重

• 如果是一致矩阵，那它的特征向量就是第一列，直接把第一列归一化就是权重了。

方法三-一致矩阵.png

• 如果不是一致矩阵，但是满足一致性检验的判断矩阵，那同样方法，求最大特征值，再求特征向量，再归一化

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5. 把计算出的权重填入表格

填入表格.png

6. 汇总结果得到权重矩阵，计算得分

汇总结果得到权重矩阵.png

计算得分.png

层次分析法的一些问题：

• 评价的决策层不能太多，太多导致n很大，判断矩阵和一致矩阵差异性大
• 决策层指标已知，无法使用这个方法