李群再看

李群再看

大多数情况下，在物理的世界里，李群基本就等于简单或是半简单李群。所以可以说，我是不懂李群的，用Susskind的话说，我懂的是the theoritical minimum。权当是我回答不出一些关于一般的李群的问题的借口。下面的一些note就限制在简单或是半简单李群。

基本概念

李群的local的性质由李代数决定。李代数本身是一个向量空间。李群是用来表述连续的对称操作的。李群的里面的元素就对应了不同的对称操作，当这个对称操作很微小很微小的时候，这个对称操作就对应了李代数的一个向量。
抽象的来说，李代数里面的每一个向量都对应了一些线性算符，也就是一些变换操作。一个自然的问题是，这些算符的操作对象是什么？比如对于转动群，是什么东西被这个群转动了？
这就体现了抽象代数的厉害。因为这个被操作的对象不是唯一的，选择不同的被操作对象，就对应了不同的群表示，或者李代数表示。比如如果选取被操作的对象是李代数本身，对应的表示就是adjoint表示。所以与其研究这个不唯一被操作的对象，研究操作本身意义更大。

李代数完全由structure结构常数来决定。但是在李代数的向量空间选取的基bases不同，结构常数也不多。所以就可以引入张量的概念：我们只需要选定一个结构常数，然后再知道当基变换时，这些结构常数怎么变就可以了。当然这些概念都很直接如果考虑李群的拓扑性质，李群本身可以看做一个微分流行，李代数是他的tangent 空间。在tangent空间我们当然可以定义张量。

其中一个比较重要的张量是Killing form，虽然说是form,其实更像metric,因为这个Killing是一个2维对称张量，也就是一个2维矩阵。因为我们有一个选取bases的自由度，我们通过这个自由度，将这个Killing对角化。再通过基向量的不同的normalization可以把对角元全部变为 1 ，-1， 0。（大一学的线性代数终于用到了！）

简单或是半简单李代数就对应了没有0元的Killing。从这个角度，我们也可以理解为什么这些代数物理学家比较喜欢。以为没有0元，这个Killing metric是可逆的，这就和我们熟悉的微分几何或是黎曼几何很像了。可以用Killing metric 升降指标来改变张量的类型。

Cartan-Root system

刚才已经提到过，李代数里面的每一个向量都对应了一个算符。我们就可以问，这个算符有多少零本征值。考虑所有可能的向量也就是所有的算符，具有最少0本征值的算符或是向量就称为规范向量。规范向量的0本征值的个数就定义为这个李代数的rank=r。所有的规范向量都可以由r个基本的规范向量线性得到。这r个基本规范向量互相正交，构成了一个子代数：Cartan 子代数。如果李代数的维数是g，那么剩下的（g-r）个基向量，是这r个基本规范向量共同的本征向量。因为有r个基本规范向量，每一个root都对应了r个本征值，把这r个数放在一起就得到了一个r维的向量，成为root，对应的基向量(李代数生成元)成为root基向量。这样整个李代数空间就分解为Cartan基向量和Root基向量。而且root都是成对出现的，分为正root和负root。如果两个root的线性组合还是一个root,那么这个两个root对应的基向量的组合就得到相应的基向量。
所以我们完全用一个几何图形来看待一个李代数。
比如，李代数的rank=2,维数为8，那么我们可以想象一个由6个向量构成的2维图像。这个6个向量不同的组合方式，就对应了不同李代数。但让这些组合方式不是任意的，是高度被限制的。因为root总是成对出现，我们只需要关注正root。在我们的例子里，就有3个正root。但是2维图像，最多线性无关的向量的数量是2，所以其中一个正root一定可以由另外两个线性表示。这就定义了简单root的概念：不能由其他正root线性表示的正root。或者笼统地认为是正root空间的基向量。

到现在，我们总结，我们只需要用简单root来描述李代数，因为所有其他的root都可以尤其线性相加得到。但是不是所有的可能的线性叠加都对应了root,因为root的数量是有限的。这就对简单root之间长度比，还有他们可能的夹角有一个很强的限制。最后发现，简单root之间的夹角只可能是90 120 135 150 度。两个简单的夹角不同，他们的长度比也不同，分别是任意，1，根号2，根号3. 通过这些信息我们对于所有的简单李代数进行完全分类。

群表示

所有的物理态都对应了对称群或相应李代数的表示，而群的表示又可以分解成不可约表示，就好像所有的粒子可以分解成对应的基本粒子。但是对于一个不可约表示，里面对应了好多物理态，也就是说基本粒子本身又可以有不同的量子态。这些态怎么来描述呢？一般说用quantum numbers来描述，但是这些quantum numbers怎么用群论的语言来理解呢？
在一个群表示的空间里(选取一种粒子)，我们可以选择一组基础态，这些基础态是Cartan 规范向量的共有的本征向量。每一个基础态就对应了r（rank）个本征值,同样地我们得到一个r维的向量，成为weight( 权重)。当root向量作用在基础态的时候会得到一个新的态，这个新的态的weight就等于旧的weight加上这个root。同样的道理，weight应该有限的，所以我们不能无限的加上root,到达某一个最高的weight的时候，在作用这个root向量的时候，应该得到0，我们也是最高weight的态被root消灭。这样的话，每一个最高weight的态都唯一确定了一个群表示。
可以这样理解，每一种粒子，都对应了一个群表示，这个粒子不同基础态，对应了不同的weight。粒子的种类和最高的weight一一对应，也就说当你知道最高weight的时候也就知道了粒子的种类，反过来也一样。