睡前说：超现实数

超现实数，Surreal-Number。
区别于另一个很接近的数学概念：超实数Hyperreal-Number。

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超现实数是到目前为止唯一一个在科幻小说中诞生的严肃且全面的数学概念。
PS：那本书的严谨程度大概已经远超一般的“数学科幻小说”的范畴了，基本就是一本用对话的形式写的数学论文。。。当然，我们不要在意这些细节。
PS又PS：当然这个概念也不是这本书完全地凭空想象出来的，此前另一位数学家Conway已经有了类似的想法，不过还没有系统整理，接着Knuth就给写成小说了。。。Conway很开心地从此一直沿用了Knuth在小说中所给的“Surreal Number”这个名词，从而诞生了我们现在所看到的超现实数。

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上面不过是周边介绍，还是来说说这货吧。

超现实数的定义依赖于下面这三条：

1. 每个超现实数都可以写作< A | B >，其中A和B是两个超现实数集合，且B中不存在元素小于等于A中的某个元素；
2. 所谓一个超现实数a=< a_L | a_R >小于等于超现实数b=< b_L | b_R >，是指a_L中不存在元素使b小于等于它，且b_R中不存在元素小于等于a；
3. 如果超现实数a和b满足a小于等于b且b小于等于a，则称a和b属于同一个等价类。

这是一个循环定义的有序集，且在配合上恰当的加法与乘法运算后，可以利用等价类构成最大的有序域，即没有任何有序域能比超现实数域更大。我们的实数域是其一个子域，而且是非常非常小的一个子域。

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在超现实数中，每个数具体是多少我们其实从定义来说并不清楚。

事实上，通过上述定义，我们首先可以证明的应该是a小于等于a（于是a大于等于a）——这一显而易见的结论其实还是需要证明一下的。
通过小于等于的证明，这个显而易见的结论可以显而易见地被证明（这似乎是一句废话。。。）。

随后，我们可以证明超现实数a=< a_L | a_R >不小于等于其左集a_L中的任何元素。
因为如果a小于等于a_L中的某个元素b，那么按照小于等于的定义，我们就可以推出a_L中没有元素可以使b小于等于它，但b显然小于等于自身，于是矛盾。
同理，a_R中的任何元素也必然不小于等于a。
也就是说，a是介于其a_L中最“大”的元素与a_R中最“小”的元素之间的元素。
用等价类来说，a = < a_L | a_R > ～ < {a_L_max} | {a_R_min} >

但这样的想法本身却也是不对的，比如下面这几个：
a=<|>
b=
c=<|a>
上面这三个都是合法的超现实数，但却不能被视为上面所提到的那种“介于左集最大和右集最小”之间，因为其左集或者右集是空集。
这就是定义有趣的地方了——“没有元素”，对空集来说当然是“没有元素”了。

所以，超现实数可以写为以下几种形式：
<|>
<{a_L_max}|>
<|{a_R_min}>
<{a_L_max}|{a_R_min}>
其中，第一个是最特殊的。

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就和自然数可以通过序数的方式来构造一样：
0={}
1={0}={{}}
2={1}={{{}}}
以此类推。
我们同样可以利用特殊元素<|>构造出超现实数中的“自然数”（以下采用左最大或者右最小来表示整个左集或者右集）：
0=<|>
1=<0|>
2=<1|>
3=<2|>
...
-1=<|0>
-2=<|-1>
-3=<|-2>
...
很容易验证这样的做法的有效性，比如：
0小于等于1，因为0的左集（空集）中没有元素大于等于1，这是显而易见的；而1的右集（也是空集）中也不存在元素小于等于0。
是不是顿时感到“空集”和“没有元素”这一对活宝真的很逆天？
事实上，由于很容易证明1不会小于等于0，于是1和0也不构成等价类，即使0不等于1，于是我们事实上证明了0小于1。
同理可以证明0小于2、3、4......

1小于等于2也是很容易证明的：1的左集只有元素0，而0显然不大于等于2（利用上面证明0小于1的技巧）；另一方面，2的右集是空集，于是，你懂的。

事实上，利用数学归纳法，我们可以证明如上构造的所有1,2,3,4...和自然数一样构成一个有序数列，而-1,-2,-3,-4...也是如此。
因此，我们就在超现实数中构造了和自然数等价的系统。

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游戏到这里还没有结束。

让我们假定，存在一个特殊的超现实数w，其比如上定义的所有大于<|>的数都要大，即：
n=，n小于等于w在limit(n->无穷）。
这样的数的存在会导致什么呢？
比如我们考虑，然后就发现这货比w大，可以记为w+1。
接着，就可以构造w+2=。
于是，如果说w是自然数的正无穷，那么在超现实数中，我们可以安心地构造正无穷+1、正无穷+2这样离经叛道的数。

我们甚至可以和构造limit(n->无穷; n=)一样，构造limit(n->无穷; w+n=)。
在我们引入超现实数的加法和乘法后，就会发现这货等于2w。
然后，还有w^2甚至ww乃至w^ww....^w这样大得无法想象的数。

而，这在实数域中是不能定义的东西。
所以我们才会说，超现实数是比实数大得多得多的存在。

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嗯，今天就先简单介绍到这里吧。