概率问题：Gambler's Ruin（赌徒破产理论）

A persistent gambler who raises his bet to a fixed fraction of bankroll when he wins, but does not reduce it when he loses, will eventually and inevitably go broke, even if he has a positive expected value on each bet.

对于一个赌徒，当他赢了时，他把赌注押在固定的资金上，但当他输了时，他不会减少赌注，即使他有一个积极的结果，最终也不可避免地会破产。

问题

A、B赢得所有钱的概率是多少？

假设A、B两个赌徒，A的初始赌资为M、B的初始赌资为N。

游戏玩法是选择硬币的一面，假设当硬币正面向上，A获胜；当硬币反面向上，B获胜。

每次押注金额为一元，获胜方会从失败方获得一元。

A、B不停进行赌博，直到双方中由一方的赌资为0。

A的胜率为p、B的胜率为q（即A的败率）。

PA为A赢得所有钱的概率，PB为B赢得所有钱的概率。

公平的翻转（p=q）

考虑A、B的胜率相同时，即对于每一局博弈而言，是公平的。

---

M=N的情况下，计算公式为：

PA=M/(M+N)=N/(M+N)=1/2

PB=PA

结论：

这是一个完全公平的博弈，A赢得所有钱的概率和B赢得所有钱的概率相等，都为1/2。

---

M≠N的情况下，计算公式为：

PA=M/(M+N)

PB=N/(M+N)

结论：

这是一个完全取决于赌注的博弈，谁的赌注多，谁赢得所有钱的概率就越大；

当某一方赌注为无限大时，有限一方赢得所有钱的概率趋向为0，无限一方赢得所有钱的概率趋向为1。

不妨举个例子来看一下：

M=N的情况

假设A有6元，B有6元。A、B的获胜概率为1/2。

则A赢得所有钱的概率为 6/（6+6）B赢得所有钱的概率为 6/（6+6）

M≠N的情况

假设A有4元，B有8元。

A、B的获胜概率为1/2。

则A赢得所有钱的概率为 4/（8+4）B赢得所有钱的概率为 8/（8+4）

不公平的翻转（p≠q）

考虑A、B的胜率不同时，即对于每一局博弈而言，是不公平的。

---

计算公式为：

PA=(1-(p/q)^M)/(1-(p/q)^(M+N))

PB=(1-(q/p)^N)/(1-(q/p)^(M+N))

结论：

……既然在胜率相等的情况下，都注定了赌注有限的一方会失败，那么当赌注少的一方胜率更低时，赌注更多的一方赢得所有钱的概率就更大了。

---

参考资料

❀Gambler's ruin - Wikipedia