七、函数依赖及范式
函数依赖基本概念：
  • 函数依赖：FD(function dependency)，设有关系模式R(U)，X，Y是U的子集， r是R的任一具体关系，如果对r的任意两个元组t 1,t 2,由t 1[X]=t 2[X]导致t 1[Y]=t 2[Y], 则称X函数决定Y,或Y函数依赖于X，记为X→Y。X→Y为模式R的一个函数依赖。
  • 部分函数依赖：即局部依赖，对于一个函数依赖W→A，如果存在X W(X包含于W)有X→A成立， 那么称W→A是局部依赖，否则称W→A为 完全函数依赖。
  • 传递依赖：在关系模式中，如果Y→X，X→A，且X Y（X不决定Y）， A X（A不属于X）,那么称Y→A是传递依赖。
  • 函数依赖集F的闭包F+: 被逻辑蕴涵的函数依赖的全体构成的集合，称为F的闭包(closure),记为F +。
  • 最小依赖集：如果函数集合F满足以下三个条件 (1)F中每个函数依赖的右部都是单属性； (2)F中的任一函数依赖X→A，其F-{X→A}与F是不等价的；(3)F中的任一函数依赖X→A，Z为X的子集，（F-{X→A}）∪{Z→A}与F不等价。则称F为最小函数依赖集合，记为Fmin。
函数依赖的公理系统：
    设有关系模式R(U)，X，Y，Z，W均是U的子集，F是R上只涉及到U中属性的函数依赖集，推理规则如下：
  • 自反律：如果Y X U,则X→Y在R上成立。
  • 增广律：如果X→Y为F所蕴涵，Z U，则XZ→YZ在R上成立。(XZ表示X∪Z，下同)
  • 传递律：如果X→Y和Y→Z在R上成立，则X→Z在R上成立。
    以上三条为Armstrong公理系统
  • 合并律：如果X→Y和X→Z成立，那么X→YZ成立。
  • 伪传递律：如果X→Y和WY→Z成立，那么WX→Z成立。
  • 分解律：如果X→Y和Z Y成立，那么X→Z成立。
    这三条为引理   
注意：
  • 函数依赖推理规则系统(自反律、增广律和传递律)是完备的。
  • 由自反律所得到的函数依赖均是平凡的函数依赖。

四种范式的含义：
  • 如果某个数据库模式都是第一范式的，则称该数据库模式是属于 第一范式的数据库模式。
  • 如果关系模式R为第一范式，并且R中每一个非主属性完全函数依赖于R的某个候选键，则称为 第二范式 模式。
  • 如果关系模式R是第二范式，且每个非主属性都不传递依赖于R的候选键，则称R为 第三范式 模式。
  • 若关系模式R是第一范式，且每个属性都不传递依赖于R的候选键。这种关系模式就是 BCNF 模式。
四种范式，可以发现它们之间存在如下关系：
        BCNF3NF2NF1NF

1NF
↓ 消去非主属性对键的部分函数依赖
2NF
↓ 消去非主属性对键的传递函数依赖
3NF
↓ 消去主属性对键的传递函数依赖
BCNF
　范式举例
1. 设有关系模型R（A，B，C，D，E），F是R上成立的函数依赖集，F={ABC→DE，BC→D，D→E}， 试问R达到第几范式，并说明理由。
　
    R属于1NF。 由于候选键是ABC。而非主属性D和E部分函数依赖于候选键ABC，因此R不是2NF，只能是1NF。
　
2. 数据模型分析，关系模型R（U，F）
U=ABCDEG，F={AD→E，AC→E，CB→G，BCD→AG，BD→A，AB→G,A→C}
（1） 求此模型的最小函数依赖集。
（2） 求出关系模式的候选码。
（3） 此关系模型最高属于哪级范式。
（4） 将此模型按照模式分解的要求分解为3NF。

依照题意，得出：
（1）通过最小集求法:
  • 分解函数依赖的右部， F={AD→E，AC→E，BC→G，BCD→A，BCD→G，BD→A，AB→G，A→C}
  • 消去左边的冗余属性：F={A→E，A→E，BC→G，BD→A，BC→G，BD→A，AB→G，A→C}
  • 消去冗余的函数依赖：Fm={A→E，BC→G，BD→A，A→C}
                  也可以为：  Fm={A→E，AB→G，BD→A，A→C}
（2）候选码：BD
（3）R中每一个非主属性完全函数依赖于R的候选键BD；但C,G，E都传递依赖于R的候选键BD，也就是说，R满足2NF的要求，而不满足3NF的要求。此关系模型最高属于2NF。
（4）依据算法4.4
      R1：U1=ABD F1={BD→A}
      R2：U2=BCG F2={BC→G}
      R3：U3=ACE F3={A→C，A→E}　
模式分解
模式分解的三个准则：
  • 分解具有“无损连接性”
  • 分解要“保持函数依赖”
  • 分解既要“保持函数依赖”，又要具有“无损连接性”
　模式分解举例
模式分解
试分析下列分解是否具有无损联接和保持函数依赖的特点：
设R(ABC)，F1={A→B} 在R上成立，ρ1={AB,AC}。

首先，检查是否具有无损联接特点：
第1种解法--算法4.2:
　
A
B
C
AB
a1
a2
b13
AC
a1
b22
a3
A
B
C
a1
a2
b13
a1
a2
a3
(1) 构造表
(2)根据A→B进行处理

结果第二行全是a行，因 此分解是无损联接分解。

第2种解法:(定理4.8)
　　R1(AB)∩R2(AC)=A
　　R2- R1=B
　　∵A→B, ∴该分解是无损联接分解。
然后，检查分解是否保持函数依赖
　　π R1（F1）={A→B，以及按自反率推出的一些函数依赖}
　　π R2（F1）={按自反率推出的一些函数依赖}
　 　F1被π R1（F1）所蕴涵， ∴ 所以该分解保持函数依赖。　
模式分解与范式的关系
如果关系模式没有达到所需的范式，则需要模式分解
模式分解的几个重要事实：
  • 若只要求分解具有“无损连接性”，一定可以达到4NF；
  • 若要求分解要“保持函数依赖”，可以达到3NF，但不一定能达到BCNF；
  • 若要求分解既要“保持函数依赖”，又要具有“无损连接性”，可以达到3NF，但不一定能达到BCNF；
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