第四关——图论：强连通分量

14:27:28 写一首十几岁听的情歌，可惜我没在那个时候遇见你，否则我努力活到百岁以后，就刚好爱你一整个世纪  ——《零几年听的情歌》

今天是待在学校的最后一天了，撒花，庆祝！！！_{^{那也祝自己十六岁生日快乐}}

最近肺炎传染有点严重，大家能点外卖点外卖，能躺床躺床，少出门，你肆无忌惮赖在家的机会来了！！！

好了，今天要讲的呢，是要待在家好好学习一下的强连通分量。

• 概念

连通分量：在无向图中，即为连通子图。

有向图强连通分量：在有向图G中，如果两个顶点vi,vj间（vi>vj）有一条从vi到vj的有向路径，同时还有一条从vj到vi的有向路径，则称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。有向图的极大强连通子图，称为强连通分量(strongly connected components)

极大强连通子图：G是一个极大强连通子图，当且仅当G是一个强连通子图且不存在另一个强连通子图G’，是得G是G'的真子集

下图中，子图{1,2,3,4}为一个强连通分量，因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。

• 用双向遍历取交集的方法求强连通分量，时间复杂度为O(N^2+M)。

• Kosaraju算法或Tarjan算法求强连通分量，两者的时间复杂度都是O(N+M)。

•  Tarjan算法

基于对图深度优先搜索，每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。

算法流程

• 搜索时，把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈
• 回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。
• 定义DFN(u)为节点u搜索的次序编号(时间戳)，Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。
• 当DFN(u)=Low(u)时，以u为根的搜索子树上所有节点是一个强连通分量。

 以下为网上找的算法演示流程：

从节点1开始DFS，把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时，DFN[6]=LOW[6]，找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止，{6}为一个强连通分量。

返回节点5，发现DFN[5]=LOW[5]，退栈后{5}为一个强连通分量。

返回节点3，继续搜索到节点4，把4加入堆栈。发现节点4向节点1有后向边，节点1还在栈中，所以LOW[4]=1。节点6已经出栈，(4,6)是横叉边，返回3，(3,4)为树枝边，所以LOW[3]=LOW[4]=1。

继续回到节点1，最后访问节点2。访问边(2,4)，4还在栈中，所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后，发现DFN[1]=LOW[1]，把栈中节点全部取出，组成一个连通分量{1,3,4,2}。

 

P1407 [国家集训队]稳定婚姻

此题需要用到一个map，就是类似于此。

map<string,int> a;、
for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        string x,y;
        cin>>x>>y;
        a[x]=++tot;a[y]=++tot;
    }

因为需要存图，我在这里用的vector的邻接表，详细请看第三关。

这道题主要用到的就是targan算法，具体看代码，当然也有其他方法可以用

#include
using namespace std;
int n,m,d[20009],tot,cnt,l[20009];
bool v[20009];
vector<int> f[8005];
map<string,int> a;
stack<int> s;
void tarjan(int x)
{
    d[x]=l[x]=++cnt;
    v[x]=true;
    s.push(x);
    for(int i=0;ii)
    {
        int o=f[x][i];
        if(!d[o])
        {
            tarjan(o);
            l[x] =min(l[x], l[o]);
        }
        else if(v[o])l[x]=min(l[x],d[o]);
    }
    if(d[x]==l[x])
    {
        v[x]=false;
        while(s.top()!=x)
        {
            v[s.top()]=false;
            s.pop();
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        string x,y;
        cin>>x>>y;
        a[x]=++tot;a[y]=++tot;
        f[a[x]].push_back(a[y]);
    }
    scanf("%d",&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        string x,y;
        cin>>x>>y;
        f[a[y]].push_back(a[x]);
    }
    cnt = 0;
    for(int i=1;i<=n*2;i++)
    if(!d[i])
    tarjan(i);
    cnt=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(l[++cnt]==l[++cnt])
        printf("Unsafe\n");
        else
        printf("Safe\n");
    }
    return 0;
 } 

• Kosaraju算法

基于对有向图及其逆图两次DFS的方法Kosaraju算法可能会稍微更直观一些。但是Tarjan只用对原图进行一次DFS，不用建立逆图，更简洁。在实际的测试中，Tarjan算法的运行效率也比Kosaraju算法高30%左右。

算法流程：

• 先用对原图G进行深搜生成树
• 然后任选一棵树对其进行深搜(注意这次深搜节点A能往子节点B走的要求是EAB存在于反图GT)
• 能遍历到的顶点就是一个强连通分量
• 余下部分和原来的树一起组成一个新的树
• 直到没有顶点为止。

首先了解kosarajuo法，要想了解逆图

逆图(Tranpose Graph ):

我们对逆图定义如下：

      G^T=(V, E^T)，E^T={(u, v):(v, u)∈E}}

以下为网上找的算法演示流程：

上图是对图G,进行一遍DFS的结果，每个节点有两个时间戳，即节点的发现时间u.d和完成时间u.f

我们将完成时间较大的，按大小加入堆栈

1)每次从栈顶取出元素

2)检查是否被访问过

3)若没被访问过，以该点为起点，对逆图进行深度优先遍历

4)否则返回第一步，直到栈空为止

 

对逆图搜索时，从一个节点开始能搜索到的最大区块就是该点所在的强连通分量。

#include
using namespace std;
const int maxn=1e6+5;
struct edge{
    int to,next;
}edge1[maxn],edge2[maxn];
//edge1是原图，edge2是逆图
int head1[maxn],head2[maxn];
bool mark1[maxn],mark2[maxn];
int tot1,tot2;
int cnt1,cnt2;
int st[maxn];//对原图进行dfs，点的结束顺序从小到大排列。
int belong[maxn];//每个点属于哪个联通分量
int num;//每个联通分量的个数
int setnum[maxn];//每个联通分量中点的个数
 
void addedge(int u,int v){
    edge1[tot1].to=v;edge1[tot1].next=head1[u];head1[u]=tot1++;
    edge2[tot2].to=u;edge2[tot2].next=head2[v];head2[v]=tot2++;
} 
void dfs1(int u){
    mark1[u]=true;
    for(int i=head1[u];i!=-1;i=edge1[i].next)
        if(!mark1[edge1[i].to])
            dfs1(edge1[i].to);
    st[cnt1++]=u;
}
void dfs2(int u){
    mark2[u]=true;
    num++;
    belong[u]=cnt2;
    
    for(int i=head2[u];i!=-1;i=edge2[i].next)
        if(!mark2[edge2[i].to])
            dfs2(edge2[i].to);
}
void solve(int n){//点编号从1开始
    memset(mark1,false,sizeof(mark1)); 
    memset(mark2,false,sizeof(mark2)); 
    cnt1=cnt2=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(!mark1[i])
            dfs1(i);
            
    for(int i=cnt1-1;i>=0;i--)
        if(!mark2[st[i]]){
            num=0;
            dfs2(st[i]);
            setnum[cnt2++]=num;
        }
}
int main(){
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int s,d;
        cin>>s>>d;
        addedge(s,d);
    }
    solve(1);
    return 0;
} 

 P2002 消息扩散

其实kosaraju的复杂度和空间都要费的多一些

1.  有自环
   

2. 缩点，然后找入度为0的强连通分量个数就好了。对此，需要用mp1和mp2数组记录每条边连接的点最后遍历一遍所有的边

 

#include 
using namespace std;
const int maxn=1e5+5;
const int maxx=5e5+5;
vector<int>g[maxn],g2[maxn],st;
bool vis[maxn];
int k,cmp[maxn],mp1[maxx],mp2[maxx],cnt,du[maxn];
int n,m;
void dfs(int x){
    vis[x]=1;
    for(int i=0;ii){
        int s=g[x][i];
        if(!vis[s]){
            dfs(s);
        }
    }
    st.push_back(x);
}
void dfs2(int x,int k){
    cmp[x]=k;
    vis[x]=1;
    for(int i=0;ii){
        int s=g2[x][i];
        if(!vis[s]){
            dfs2(s,k);
        }
    }
}
void init(){
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(!vis[i]) dfs(i);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        vis[i]=0;
    }
    for(int i=st.size()-1;i>=0;i--){
        if(!vis[st[i]]){
            k++;
            dfs2(st[i],k);
        }
    }
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;++i){
        int p1,p2;
        scanf("%d%d",&p1,&p2);
        cnt++;
        mp1[cnt]=p1;mp2[cnt]=p2;
        g[p1].push_back(p2);
        g2[p2].push_back(p1);
    }
    init();
    for(int i=1;i<=cnt;i++){
        int p1=mp1[i],p2=mp2[i];
        if(cmp[p1]!=cmp[p2]){
        //  g[cmp[p1]].push_back(cmp[p2]);
            du[cmp[p2]]++;
        }
    }
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=k;i++){
        if(!du[i]) ans++;
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}                  

• 缩点

定义：将有向图中的强连通分量缩成一个点。

在Targan算法与Kosaraju算法中有所体现

P2194 HXY烧情侣

这是一道Targan加缩点的题

vector数组记录每个联通块里的每一个点

最小汽油费即为每个联通块里最小点权

方案数即为每个联通块里最小点权的点数之积（乘法原理）%1e9+7

#include
#define N 501010
using namespace std;
int n,head[N],tot,w[N],m,ans1,ans2=1;
struct node {
    int to,next;
} e[N];
void add(int u,int v) 
{
    e[++tot].to=v,e[tot].next=head[u],head[u]=tot;
}
const int mod=1e9+7;
int dfn[N],low[N],item,b[N],a[N],cnt;
bool vis[N];
stack<int>S;
vector<int>g[N];
void tarjan(int u){
    dfn[u]=low[u]=++item;
    S.push(u);vis[u]=1; 
    for(int i=head[u];i;i=e[i].next){
        int v=e[i].to;
        if(!dfn[v]){
            tarjan(v);
            low[u]=min(low[u],low[v]);
        }else if(vis[v]) low[u]=min(low[u],dfn[v]); 
    }
    if(low[u]==dfn[u]){
        int v=u;++cnt;
        do{
            v=S.top();S.pop();
            vis[v]=0;b[v]=cnt;a[cnt]++;
            g[cnt].push_back(v);
        }while(v!=u);
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) 
    scanf("%d",&w[i]);
    scanf("%d",&m);
    for(int a,b,i=1;i<=m;i++) 
    {
        scanf("%d%d",&a,&b);
        add(a,b);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    if(!dfn[i]) 
    tarjan(i);
    for(int i=1;i<=cnt;i++){
        int tpt=g[i].size(),sby=0,mi=mod;
        for(int j=0;j){
            if(w[g[i][j]]<mi){
                mi=w[g[i][j]];
                sby=1;
            }else if(mi==w[g[i][j]]) ++sby;
        }
        ans1+=mi;
        ans2=(ans2%mod*sby%mod)%mod;
    }
    printf("%d %d",ans1,ans2);
    return 0;
}

21:37:37 我们也学会慢慢地慢慢地推卸，我们也有过一次又一次的越界

热烈祝贺我的寒假开始！！！