Dual Programming

Dual Programming（对偶规划）是线性规划中很常见的一类问题，我们首先通过一个非常经典的结合实际背景的例子来介绍一下对偶的概念：

（图截自https://www.datalearner.com/blog/1051551324508180）

接下来我们从纯数学的角度考查对偶问题，为方便理解，依然由一个具体的例子展开：（截图自https://www.youtube.com/watch?v=lSM_TQehx00）

为了求解这个线性规划，我们可以首先把所给各个约束分别乘上某个系数使其符号变成小于等于号，然后把这些式子加和，希望凑出目标表达式并得出其上界，所有上界的下界即为最优解。

把约束进行变换后得到：

将它们组合起来得到：

为了让这个式子与目标函数形式相同，只需令对应项系数相等：

由于和只是表达了对和的符号限制，因此是额外变量，可以去掉变成：

拓展到一般情形的对偶为：