本周主要学习SVM
一、 内容概要
- Large Margin Classification
- Optimization Objective（优化Objective（损失函数））
- Large Margin Intuition（大边距的直观理解）
- Mathematics Behind Large Magin Classification（最大间距分类器背后的数学推导）
- Kernels
- Kernels 1
- Kernels 2
- SVMs in Practice
- Using An SVM
二、重点&难点
1. Large Margin Classification
1) Optimization Objective（优化Objective（损失函数））
- 回顾一下逻辑回归模型
\[h_θ(x) = \frac{1}{1+e^{-θ^Tx}}\]
\[J(θ)=\frac{1}{m} [\sum_{i=1}^{m} y^{(i)}( -logh_θ(x^{(i)})) + (1-y^{(i)})(-log(1-h_θ(x^{(i)}) ) ] + \frac{λ}{2m}\sum_{j=1}^{n}θ_j^2\]
在SVM中对cost function作如下等效变化（即将log函数替换成折线）
- 折线化变形
替换后cost function变为
\[J(θ)=\frac{1}{m} [\sum_{i=1}^{m} y^{(i)}Cost_1(θ^Tx^{(i)}) + (1-y^{(i)})Cost_0(θ^Tx^{(i)}) ] + \frac{λ}{2m}\sum_{j=1}^{n}θ_j^2\]
Cost的下标分别表示y所对应的值。
- 去m变形
另外我们知道为了得到最优化的一组θ，我们需要通过求\(min J(θ)\)进而得出一组解，所以上式中的m可以约掉，因为m是常数，所以对于求最小值没有影响，所以cost function可以进一步变形为：
\[J(θ)= [\sum_{i=1}^{m} y^{(i)}Cost_1(θ^Tx^{(i)}) + (1-y^{(i)})Cost_0(θ^Tx^{(i)}) ] + \frac{λ}{2}\sum_{j=1}^{n}θ_j^2\]
- 乘以C变形
继续变形前我们可以假设上式左边为训练数据集项(Training data set term),记为A，右侧为正则项，记为λB，所以有\(J(θ) = A+λB\)。
按照上面所说，此时在等式两侧乘以一个数不会影响最终的结果，假设乘以一个C（\(C=\frac{1}{λ}\)），所以有\(J(θ)=CA+B\)
此时有
\[J(θ)= C[\sum_{i=1}^{m} y^{(i)}Cost_1(θ^Tx^{(i)}) + (1-y^{(i)})Cost_0(θ^Tx^{(i)}) ] + \frac{1}{2}\sum_{j=1}^{n}θ_j^2\]
2) Large Margin Intuition（大边距的直观理解）
上面将普通逻辑回归中的log函数变形后得到的曲线如下：
区别：
If y=1, we want \(θ^Tx≥1\) (not just ≥0)
If y=0, we want \(θ^Tx≤-1\) (not just ≤0)
和引入正则项同理，当C取非常大的值时，我们希望如下蓝色圈住的部分接近于0，即使得A=0
但是要如何使A=0呢？参考上面的折线图，我们可以知道要使得A=0，则需要满足：
- 当y=1,则\(θ^Tx≥1\)
- 当y=0,则\(θ^Tx≤-1\)
此时即等价于
3) Mathematics Behind Large Magin Classification
在推导公式之前需要回顾一下向量内积的概念。
已知SVM的优化目标是：
\[min\frac{1}{2}\sum_{j=1}^nθ_j^2 且满足\]
\[当y=1时,theta^Tx^{(i)}≥1\]
\[当y=0时,theta^Tx^{(i)}≤-1\]
为了方便理解，令\(θ_0=0\)，特征数n=2，则有
\[min\frac{1}{2}\sum_{j=1}^nθ_j^2 = \frac{1}{2}(θ_1^2+θ_2^2)=\frac{1}{2}\sqrt{(θ_1^2+θ_2^2)}^2=\frac{1}{2}||θ||^2\]
其中，||θ||为向量θ的长度或称为θ的范数。
如果将\(θ^Tx(i)\)看成是经过原点(因为θ0=0) 的两个向量相乘，如下图：
则\(θ^Tx^{(i)}\)等价于向量\(x^{(i)}\)在向量θ上的投影\(p^{(i)}\)与θ的范数||θ||相乘，即
\[θ^Tx^{(i)} = p^{(i)}||θ|| = θ_1x_1^{(1)}+θ_2x_1^{(2)}\]
故SVM优化目标变为
\[min\frac{1}{2}||θ||^2 且满足\]
\[当y=1时,p^{(i)}||θ||≥1\]
\[当y=0时,p^{(i)}||θ||≤-1\]
直观的理解\(p^{(i)}||θ||\)的意义。
假设theta0=0,下面展示了一个小间距决策边界的例子。（绿色为决策边界）
首先解释一下为什么θ向量会垂直于决策边界。
因为θ的斜率是\(\frac{θ_2}{θ_1}\),决策边界表达式为\(θ^Tx=0\),即\(θ_1x_1+θ_2x_2=0\),斜率为\(\frac{θ_2}{θ_1}\)，所以θ向量会垂直于决策边界。看第一个例子(x1)
假如决策边界最开始如下图
将\(x^1\)投影到θ向量，得到\(p^1\)，可以看到\(p^1\)值很小。SVM的优化目标是\(min\frac{1}{2}||θ||^2\)，但是还需要满足\(|p^{(i)}||θ|||≥1\)，而又因为\(p^1\)值很小，所以||θ||值就需要较大才行，显然这与优化目标背道而驰，所以还有优化的空间。
x2 同理，不再赘述。
- 优化后的例子
此时\(p^1\)值明显增大，||θ||变小，达到优化目的。
2. Kernels
1) Kernels 1
之前课程中已经提到过通过使用多项式来解决非线性拟合问题，如下图所示
- 引入核函数
在SVM中我们引入核函数来解决这个问题。
假设\(h_θ(x) = θ_0+θ_1f_1+θ_2f_2+……\)，然后随机人为的选取几个向量\(l^{(i)}\)作为标记（landmarks），为方便说明选取三个：
同时定义核函数（核函数很多种，这里使用的是高斯核函数Gaussion Kernels）为
\[f_i = similarity(x^{(i)}, l^{(i)}) = e^{(-\frac{||x^{(i)}-l^{(i)}||^2}{2δ^2})}\]
这里的核函数\(f_i\)可以理解成相似度，即点x与标记点l如果很相近则预判为1，反之为0.
由高斯核函数的表达式也可以很好的理解：
\[若x^{(i)}≈l^{(i)},则f_i≈1\]
\[若x^{(i)}与l^{(i)}相距较远,则f_i≈0\]
另外高斯核函数中有一个参数\(δ^2\)，它对于结果的影响如下面几个图所示
可知\(δ^2\)越小，图像越窄，下降的速度也就越快。
- 核函数计算示例
首先还是假设选取三个landmarks，并且分类的方法是：
\[若θ_0+θ_1f_1+θ_2f_2+……≥0，预测为1，反之为0\]
假设θ向量已知为\(θ_0=-0.5,θ_1=1,θ_2=1,θ_3=0\)
下面看第一个点的分类情况：
此时\(x≈l^{(1)}，故f_1=1\)，同理因为远离其余两个landmarks，所以\(f_2=0,f_3=0\)。
所以带入计算公式有
\[h_θ(x) = θ_0+θ_1f_1+θ_2f_2+θ_3f_3=-0.5+1*1+1*0+0*0=0.5≥0\]
故该点y=1
继续看下图新添的两个x坐标点
和如上同样的分析后可以知道，绿色的点有y=1，青色的点是y=0
按照上面的计算方法，在计算了大量点后可以得到如下的边界
2) Kernels 2
- 优化目标
上面的landmarks都是人工选取的几个点而已，但是真实计算时会计算很多点。另外因为引入了核函数，所以SVM优化目标变为：
\[minJ(θ)=min C[\sum_{i=1}^{m} y^{(i)}Cost_1(θ^Tf^{(i)}) + (1-y^{(i)})Cost_0(θ^Tf^{(i)}) ] + \frac{1}{2}\sum_{j=1}^{n}θ_j^2\]
注意原来cost函数中的x变成了f。
另外上式中右边的正则项可以变成\(\sum_{j=1}^{n}θ_j^2=θ^Tθ\)，还可以继续变形
\(\sum_{j=1}^{n}θ_j^2=θ^Tθ=θ^TMθ\)，其中矩阵M取决于你所使用的核函数。
需要注意，上述那些SVM的计算技巧应用到别的算法，如逻辑回归中，会变得非常慢，所以一般不将核函数以及标记点等方法用在逻辑回归中。
- 参数影响
1.C
前面提到过的\(C=\frac{1}{λ}\),C对bias和variance的影响如下：
C太大，相当于λ太小，会产生高方差，低偏差；
C太小，相当于λ太大，会产生高偏差，低方差。
2.\(δ^2\)
\(δ^2\)大，则特征\(f_i\)变化较缓慢，可能会产生高偏差，低方差；
\(δ^2\)小，则特征\(f_i\)变化不平滑，可能会产生高方差，低偏差。
3. SVMs in Practice
1) Using An SVM
SVM和逻辑回归的选择问题
什么时候该用逻辑回归？什么时候该用SVM？
①如果n相对于m来说很大，则应该使用逻辑回归或者线性核函数（无核）的SVM。
m较小时，使用线性分类器效果就挺不错了，并且也没有足够的数据去拟合出复杂的非线性分类器。
②如果n很小，m中等大小，则应该使用高斯核函数SVM。
③如果n很小，m很大，则高斯核函数的SVM运行会很慢。这时候应该创建更多的特征变量，然后再使用逻辑回归或者线性核函数（无核）的SVM。
对于以上这些情况，神经网络很可能做得很好，但是训练会比较慢。实际上SVM的优化问题是一种凸优化问题，好的SVM优化软件包总是能找到全局最小值或者是接近全局最小的值。