分治算法——汉诺塔问题

一、分治算法概念

     “分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题，直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。
    这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，傅立叶变换(快速傅立叶变换) 。
    任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。例如，对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任何计算。n=2时，只要作一次比较即可排好序。n=3时只要作3次比较即可，…。而当n较大时，问题就不那么容易处理了。要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的。

二、分治法的设计思想

将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。

三、分治策略

对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治法。

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四、分治法实现步骤

①分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题；
②解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题；
③合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。

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它的一般的算法设计模式如下： 　　
Divide-and-Conquer(P)

1. if |P|≤n0
2. then return(ADHOC(P))
3. 将P分解为较小的子问题P1,P2,…,Pk
4. for i←1 to k
5. do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) 递归解决Pi
6. T ← MERGE(y1,y2,…,yk) 合并子问题
7. return(T)

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五、可使用分治法求解的一些经典问题

（1）二分搜索
（2）大整数乘法 　
（3）Strassen矩阵乘法
（4）棋盘覆盖
（5）合并排序
（6）快速排序
（7）线性时间选择
（8）最接近点对问题
（9）循环赛日程表
（10）汉诺塔

六、汉诺塔

6.1 汉诺塔初始状态

[java实现]
public static void main(String[] args) {
        solve(3);
    }

    public static void solve(int n) {
        // 已知条件n个圆盘和A、B、C三根石柱
        hanoi(n, "A", "B", "C");
    }

    /**
     * 若要让第n个圆盘成功从A移动到C，需要让前n-1个圆盘先从A移动到B，然后让第n个圆盘从A移动到C，
     * 最后让第n-1个圆盘从B移动到C，至于如何将前n-1个圆盘从A移动到B或者从A移动到C，仅仅是和父问
     * 题相同的子问题，采用父问题的解决方案即可。
     */
    private static void hanoi(int n, String a, String b, String c) {
        if (n == 1) {
            // 只有一个圆盘时直接从A石柱移动到C石柱
            move(n, a, c);
        } else {
            // 将前n-1个圆盘从石柱A移动到石柱B
            hanoi(n - 1, a, c, b);
            // 将第n号圆盘从石柱A移动到石柱C
            move(n, a, c);
            // 将前n-1个圆盘从石柱B移动到石柱C
            hanoi(n - 1, b, a, c);
        }
    }

    private static void move(int n, String i, String j) {
        System.out.println("第" + n + "个圆盘，" + "从" + i + "移动到" + j);
    }

运行截图

6.2 运行截图

[JScript实现]
 
 
        
        
        
        
     
 
 
     

         
         start
    
    

        
there will be showing result for you.
        

            

                
A
                

            
            

                
B
                

            
            

                
C
                

            
        
    
 
 
 
http://192.168.45.2:8080/lianxi/js.jsp

运行截图

6.3 js实现

6.4 js实现

6.5 js实现

[python实现]

import turtle
 
class Stack:
    def __init__(self):
        self.items = []
    def isEmpty(self):
        return len(self.items) == 0
    def push(self, item):
        self.items.append(item)
    def pop(self):
        return self.items.pop()
    def peek(self):
        if not self.isEmpty():
            return self.items[len(self.items) - 1]
    def size(self):
        return len(self.items)
 
def drawpole_3():#画出汉诺塔的poles
    t = turtle.Turtle()
    t.hideturtle()
    def drawpole_1(k):
        t.up()
        t.pensize(10)
        t.speed(100)
        t.goto(400*(k-1), 100)
        t.down()
        t.goto(400*(k-1), -100)
        t.goto(400*(k-1)-20, -100)
        t.goto(400*(k-1)+20, -100)
    drawpole_1(0)#画出汉诺塔的poles[0]
    drawpole_1(1)#画出汉诺塔的poles[1]
    drawpole_1(2)#画出汉诺塔的poles[2]
 
def creat_plates(n):#制造n个盘子
    plates=[turtle.Turtle() for i in range(n)]
    for i in range(n):
        plates[i].up()
        plates[i].hideturtle()
        plates[i].shape("square")
        plates[i].shapesize(1,8-i)
        plates[i].goto(-400,-90+20*i)
        plates[i].showturtle()
    return plates
 
def pole_stack():#制造poles的栈
    poles=[Stack() for i in range(3)]
    return poles
 
def moveDisk(plates,poles,fp,tp):#把poles[fp]顶端的盘子plates[mov]从poles[fp]移到poles[tp]
    mov=poles[fp].peek()
    plates[mov].goto((fp-1)*400,150)
    plates[mov].goto((tp-1)*400,150)
    l=poles[tp].size()#确定移动到底部的高度（恰好放在原来最上面的盘子上面）
    plates[mov].goto((tp-1)*400,-90+20*l)
 
def moveTower(plates,poles,height,fromPole, toPole, withPole):#递归放盘子
    if height >= 1:
        moveTower(plates,poles,height-1,fromPole,withPole,toPole)
        moveDisk(plates,poles,fromPole,toPole)
        poles[toPole].push(poles[fromPole].pop())
        moveTower(plates,poles,height-1,withPole,toPole,fromPole)
 
myscreen=turtle.Screen()
drawpole_3()
n=int(input("请输入汉诺塔的层数并回车:\n"))
plates=creat_plates(n)
poles=pole_stack()
for i in range(n):
    poles[0].push(i)
moveTower(plates,poles,n,0,2,1)
myscreen.exitonclick()

6.6 python实现

6.7 python实现