96. Unique Binary Search Trees

Problem:

Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1 ... n?

Example:

Input: 3
Output: 5
Explanation:
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's:

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

思路：

二叉搜索树(Binary Search Tree, BST)定义：
所有的左子树值比根节点小，所有的右子树值比根节点大。
http://www.imooc.com/article/270069

题目实际上可以转换为一个包含n个值的已排序数组可以组成多少种不同结构的二叉树问题。
设\(F_n\)为n个排好序的值可以组成的BST总数。如果将第\(i\)个值作为根节点，则可以将剩下的值分为两类，比\(i\)小的值共\(i-1\)个，放入以第\(i\)个值为根的左子树，比\(i\)大的值共\(n-i\)个，放入以第\(i\)个值为根的右子树。则只需将左边的值与右边的值分别转换为二叉搜索树即可。故有\(F_{i-1} * F_{n-i}\)种二叉树结构。
n个值总共可以组成的二叉树结构可以分解如下：
以第1个值为根节点：\(F_0 * F_{n-1}, F_0=1\)
以第2个值为根节点：\(F_1 * F_{n-2}\)
\(\cdots\)
以第\(n-1\)个值为根节点：\(F_{n-2}*F_1\)
以第\(n\)个值为根节点：\(F_{n-1}*F_0\)
实际上是对称的。
则
\[ F_n = F_0 * F_{n-1} + F_1 * F_{n-2} + \cdots + F_{n-2}*F_1 + F_{n-1}*F_0 \]

Solution (C++):

int numTrees(int n) {
    vector dp(n+1, 0);
    dp[0] = dp[1] = 1;
    
    for (int i = 2; i < n+1; ++i) {
        for (int j = 0; j < i; ++j) {
            dp[i] += dp[j] * dp[i-1-j];
        }
    }
    return dp[n];
}

性能：

Runtime: 8 ms  Memory Usage: 8.3 MB

拓展：
Catalan数
http://www.cppblog.com/MiYu/archive/2010/08/07/122573.html