算法基础+分治策略（算法复习第1弹）

马上就要算法考试了，好紧张，先复习第一波....

参考文献（算法导论）+（张莉老师ppt）

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函数的增长，对算法效率的描述

渐进记号：Θ、Ω、O、o、w(那个很像w的符号，不记得咋打出来了)

Θ标记（最常用）：存在正常量c1和c2，使得当n 足够大的时候，能够让函数 f(n) 夹入c1g(n)和c2g(n)之间

如图：

f(n）=Θ（g(n)) 图一

称g(n)是f(n）的一个渐进紧确界，也就是f(n）得在c1g(n)和c2g(n)之间，不得越界

举个例子证明（考点)：

证明这个式子

图二

Ω标记：渐进下界

如图，和图一相比，它没有上界要求，图一上下均不能越界，它只有下界要求，所以叫做渐近下界

图三

O：渐近上界

和Ω标记类似，上边不越界，下边不做要求

图四

o标记：非渐进紧确的上界，图一Θ是渐进紧确的，而O可以是Θ

也可以不是，而o有点像集合中真包含的概念，它不是Θ的O

w(那个很像w的符号，不记得咋打出来了)标记符：和o相反，非渐进紧确的下界

通过上边几个图的理解，下边表里边的式子就很好理解了

左边是满足的表达式，右边是两者的相对增长速度

图五

这也是比较两个函数之间增长速度的方法（n足够大的时候，求函数之比的极限，根据结果判断）

图六

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分治策略

概念：将原问题分解成子问题，子问题与原问题一样，至少规模更小，直到规模足够小，递归停止，问题得以解决

包括的例子有，归并排序、实验中的gray码问题

分治算法的分析：

分治法解题的一般步骤

（1）分解，将要解决的问题划分成若干规模较小的同类问题；

（2）求解，当子问题划分得足够小时，用较简单的方法解决；

（3）合并，按原问题的要求，将子问题的解逐层合并构成原问题的解。

三个求解分治法Θ或Ω的方法

1、代入法

即假设一个界，然后数学归纳法证明

这种方法需要经验的积累，可以通过转换为先前见过的类似递归式来求解。

2、递归树法

在递归树中，每一个结点都代表递归函数调用集合中一个子问题的代价。将递归树中每一层内的代价相加得到一个每层代价的集合，再将每层的代价相加得到递归式所有层次的总代价。

如归并排序，忘了归并排序的可以参照这里  归并排序

这是其递归式

图七

这是递归树的式子（主方法常用这个式子）

图八

递归树式子需要解释的地方有

cn其实就是一个函数f(n),这个函数所代表的意思是分解和合并步骤所花费的时间，哈哈

其（f(n)）复杂度为Θ（n）,由此再去理解图七中的式子就好理解了

下面来用递归树的方法求分治算法的渐进界：

下边这是ppt上的例子，怎么理解这个递归树例子呢，最顶层是cn,从它开始递归，首先你可以把n理解为2的某次幂，比如，n是2的4次幂，所以整个递归树就有(logn)也就是4层，每一层的代价刚好都是cn，可求出其T（n）,第5层也就是常量的，为Θ（n），也可以回去图八和图七解释，哈哈

图九

这个例子也一样，只不过不是递归成一样的问题，是两个一样的子问题

图十

3、主方法法

它可以瞬间估计一个递推式的算法复杂度。但是我们知道，这后面肯定是严格的数学证明在支撑着，对于我们用户来说，我们只用知道怎么用就行了。

T(n) = aT(n/b) + f (n) ,函数f(n),这个函数所代表的意思是分解和合并步骤所花费的时间

下图就是主定理，记住就行，也可以自己去推导一蛤~

图十一

PPT上这样说主定理，一样的

图十二

图十三

下面贴一段gray码问题的分治解法

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图十四

第一次写，写的乱乱的，明天将推出动态规划和毛概，希望写的更好，祝大家期末取得好成绩~