【算法】算法的艺术（一）

火车托运费的计算

　　　设乘坐火车托运行李时按下列式子收费：

　　　                 0                (0<=x<=20）

　　　　应交费用y =    (x–20) * 2         (20

                     (x–40) * 5 + 40     (x>40)

　　　编一个程序用来计算应交金额。

　　实例解析：

　　　这是第三章中的一个例题（当时是用switch处理的），是一个选择结构的实例，收费情况共分三种。

　　　本题可以采用三种方法来编程：

　　　(1) 用三个单独的if语句，每个if语句处理一种情况；

　　　(2) 用嵌套的if语句处理，需两个if语句；

　　　(3) 用switch语句。

方法一：用单独的if语句

#include
int main()
{
int x, y;
　　scanf(“%d”, &x);
if(x <= 20)
　　　 y = 0;
if(x > 20 && x <= 40)
　　　 y = (x-20)*2;
if(x > 40)
　　　 y = (x–40)*5 + 40;
　　printf(“y = %d\n”, y);
　　getch();
return 0;
}

注意：

if(x > 40)一行，不能写成else，原因请参看第3章3.13中的if语句常见错误。

方法二：用嵌套的if语句

#include <stdio.h>
int main()
{
　　int x, y;
　　scanf(“%d”, &x);
　　if(x <= 20)
y = 0;
else if(x <= 40)  //在x>=20不成立的情况下，若x<=40
y = (x-20)*2;
　　else  //在前面两个条件都不成立的情况下
y = (x–40)*5 + 40;
　　printf(“y = %d\n”, y);
　　getch();
　　return 0;
}

方法三：用switch语句

　#include <stdio.h>
int main()
{
　　　int x, y;
　　　scanf(“%d”, &x);
　　　switch(x/20)
　　　{
　　　　　case 0:   y = 0;  break;
　　　    case 1:   y = (x-20)*2;  break;
　　　    default:  y = (x–40)*5 + 40;
　　　 }
　　　printf(“y=%d\n”, y);
　　　getch();
　　　return 0;
}

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找小偷

　　　警察局抓了a、b、c、d 共4名盗窃嫌疑犯，但只有一人是小偷。审讯中，a不承认自己是小偷，b说c是小偷，c指认d为小偷，d说c冤枉他。已知4人中有3人说的是真话，请问谁是小偷？

　　　实例解析：

　　　本实例的目的是让读者学会把逻辑值当整数来使用。

　　　C中的逻辑值要么为1，要么为0。将几个关系（或逻辑）表达式相加，由结果可以知道其中有几个表达式是成立的。

　　　由题意知，4个人都是嫌疑犯，所以我们定义一个变量x，使之分别取值1、2、3、4，分别代表a、b、c、d是小偷的4种情况。

　　　对于x的每一个取值，我们判断下面的4个表达式有几个成立。

　　　(1)  x != 1        //小偷不是a

　　　(2)  x == 3       //小偷是c

　　　(3)  x == 4       //小偷是d

　　　(4)  x != 4        //小偷不是d

　　　判断的方法是：将4个表达式的值相加，若等于3，表示三个人说的是真话，符合题意，输出结果，否则，不符合题意，跳过。

　　　下面是程序代码：

#include <stdio.h>
int main()
{
　　　 int x;
　　　 for(x = 1; x <= 4; x++)
　　　   if((x!=1) + (x==3) + (x==4) + (x!=4) == 3)
　　　 　　　  printf(“%c是小偷！\n”, x+64);
　　　 getch();
　　　 return 0;
}

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判断整数能被3、5、7中的哪些数整除

　　　键盘输入一个整数，判断能被3、5、7中的几个数整数，并且指出这几个数。

　　　实例解析：

　　　这个题目可以用3个if语句分别检查能否被3、5、7整除，但这种最普通的算法效率较低。

　　　这里我们介绍一种简单的方法，利用实例3所介绍的技巧：将几个关系表达式相加，可以知道有几个表达式是成立的。

　　　求解：s = (x%3==0) + (x%5 == 0) + (x%7 == 0)

　　　（1）若s 值为3，则x可同时被3个数整除

　　　（2）若s为2，则只能同时被其中2个数整除。

　　　（3）若s为1，则只能被其中1个数整除。

　　　（4）若s为0，则不能被其中任何数整除。

　　　但是，这样设计有一个问题，当s = 2或s = 1时，我们只知道x可以被几个数整数，但能被哪些数整除却不能确定。

　　　为此，我们这样设计：用一个字节的后三位分别表示能否被3、5、7整除。若x能被3整除，我们让最后一位为1，若能被5整除，让倒数第2位为1，若能被7整除，让倒数第3位为1。共有8种可能：

　　　（1）00000000

　　　（2）00000001

　　　（3）00000010

　　　（4）00000011

　　　（5）00000100

　　　（6）00000101

　　　（7）00000110

　　　（8）00000111

　　　通过检查该字节的值，可以得到本实例所要的结论。

　　　程序代码如下：

#include <stdio.h>
int main()
{
　　　int x;
　　　char s;
　　　scanf(“%d”, &x);
s = (x%3==0) + (x%5==0)*2 + (x%7==0)*4;
　　　switch(s)
　　　{
　　　  case 0:   printf(“none\n”); break;
　　　  case 1:   printf(“3\n”);     break;
　　　  case 2:   printf(“5\n”);     break;
　　　  case 3:   printf(“3,5\n”);   break;
　　　  case 4:   printf(“7\n”);     break;
　　　  case 5:   printf(“3,7\n”);   break;
　　　  case 6:   printf(“5,7\n”);   break;
　　　  case 7:   printf(“3,5,7\n”); break;
　　　  default:  printf(“error!\n”);
　　　}
　　　return 0;
}

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找假货

　　　有5箱产品，每箱20件，但其中有几箱里全是假货。已知正品每件100克，假货比正品轻10克，问能否用天平只称一次，找出所有装假货的箱子？

　　　实例解析：

　　　本题可以先这样考虑：每箱取出一件产品，共取5件，一起放在天平上称一次，如果总重490克，说明比正常情况少了10克，其中必定有一件是假货，推断出只有一箱假货。如果比正常少20克，则有两箱假货，如果少30克，有三箱假货……

　　　但是，这样只能知道有几箱假货，不知道哪箱是假货。为此，我们给每个箱子加上权重：即每个箱子取出的产品数目不同。

　　　我们想到，可以在5个箱子中分别取1、2、3、4、5件产品，但这样的算法依然存在问题：当总重470克时，有可能1、2号箱是假货，还有可能3号箱是假货，还是不能确定哪些箱是假货。

　　　正确的取法应该是：分别在5个箱子中取1、2、4、8、16件产品，这样就不会出现分辨不清的情况了。例如若总重430克，少了70克，则一定是前三箱是假货。

　　　下面是程序代码：

#include
int main()
{
int w[5] = {100,90,100,90,90}; //分别是5个箱子里一件产品的重量
int sum = 0, i, k = 1, m;
for(i = 0; i < 5; i++ )
　　　{
　　　   sum += w[i]*k;
　　　   k *= 2;
　　　 }
　　　 m = (100*31 – sum)/10 ;        // 计算其中有多少件假货
　　　 k = 16;                           //  k先取第5箱的权重
for(i = 5; i >= 1; i--)
　　　 {
if(m >= k)
　　　　　　{
　　　    　　　 printf(“第%d箱是假货\n”, i);
　　　    　　　 m -= k;
　　　  　　　 }
　　　   　　k /= 2;  // k变为下一个要处理箱的权重
　　　　　 }
　　　getch();
return 0;
　　　}

　　　上面代码的最后一段也可以采用位操作来完成：

m = (100*31 – sum)/10 ; // 计算其中有多少件假货
for(i = 1; i <= 5; i++)
{
if(m & 1)
    　　printf(“第%d箱是假货\n”, i);
　　　  m >>= 1;
}

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计算某天是一年中的第几天

　　　键盘输入一个年月日，计算该日期在该年中是第几天。

　　　实例解析：

　　　这也是第三章中的一个例题（参看例3.3），在例3.3中是用switch语句来编程的，这里我们用循环的方法。

　　　程序设计思路是：用一个数组存放12个月份的天数（实际上第12月的数据无用），假设month=5，则需要先把前4个月的天数（即下面数组的第1~4个元素）加起来，再加上5月份的日期（即day），若是闰年，再加1。

#include
int main( )
{
int  year, month, day;
int m[13] = {0,31,28,31,30,31,30,31,31,30,31,30,31};
int  i, n = 0;
     scanf(“%d%d%d”, &year, &month, &day);
for(i = 1; i < month; i++)
　　 　　  n += m[i];
　　　n += day;
if((year%4==0 && year%100 != 0 || year%400 == 0 ) && month>=3 )
　　 　　  n++;
　　 printf(“%d\n”, n);
　　 getch();
return 0;
　　}