质数的筛选

质数的筛选

Eratosthenes筛法

Euler筛法（线性筛法）

线性筛法

Eratosthenes 筛法利用的原理是 任意整数 x 的倍数 2x，3x，... 等都不是质数 。

但是即便如此也会有重复标记的现象，例如12既会被2又会被3标记，在标记2的倍数时，12=6∗212=6∗2，在标记3的倍数时，12=4∗312=4∗3 ，根本原因是没有找到唯一产生12的方式。

线性筛法的核心原理

每个合数必有一个最大因子（不包括它本身），用这个因子把合数筛掉

换言之：每个合数必有一个最小素因子，用这个因数把合数筛掉

过程

假设对于一个确定的整数 ii，ii 是一个合数 tt 的最大因数，tt 显然可能不唯一（例如 30 和 45 最大因数都是 15）。但是仔细想一想，必然有一个p，满足：

t=i∗p (p≤i,p是质数)t=i∗p (p≤i,p是质数)

• pp为什么一定小于等于 ii？因为 ii 是 tt 的最大因数。
• 为什么 pp 一定是质数？因为如果 pp 是合数，那么 ii 就一定不是 tt 的最大因数，因为 pp 可以再拆成若干素数相乘，这些素数再与 ii 相乘会使该因数更大。

既然如此，我们只需要把所有小于 ii 的质数 pp 都挨个乘一次拿到所有合数就好了。可是，这样就不会有重复标记嘛？

会的，我们一不小心就忘记了最初的条件。我们要满足 ii 是 tt 的最大因数。如果 pp 大于 ii 的最小质因数，那 ii 还是 tt 的最大因数嘛？显然不是，任何一个合数 tt 都能唯一分解为有限个质数的乘积，除去这其中最小的质因数，其他的都乘起来就是最大因数 ii 。所以我们不能让 pp 大于 ii 的最小质因数（设为xx），否则 ii 将不再是 t=i∗pt=i∗p 的最大因数，其最大因数应该是i∗p/xi∗p/x 。

下面有两个版本，核心处理稍有一点点不同，理解即可。

版本一

• v[i] 表示 i 的最小质因数。如果i就是质数，那么v[i] = i
• prime[j] 表示第 j 个质数。与之前的筛法不同，这个数组是存放质数的，而不是标记质数的

#define MAXN 1000012
int prime[MAXN],v[MAXN];
int m=0;//m表示现在筛出m个质数
void primes(int n)
{
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(v[i]==0)//如果v[i]为0，说明 i 之前没有被筛到过，i 为质数
        {
            v[i] = i;
             prime[++m] = i;
        }
        for(int j = 1;j<=m;j++)//遍历小于 i 的所有质数
        {
            //如果质数大于 i 的最小质因数或者乘起来大于n就跳出循环
            if(prime[j] > v[i] || prime[j] > n/i) break;
            v[i*prime[j]] = prime[j];//标记 i*prime[j] 的最小质因数是prime[j]
        }
    }
}

版本二

• v[i] i 为质数则为0，否则为 1
• prime[j] 与上面相同

Copy#define MAXN 1000000
int prime[MAXN],v[MAXN];
int m=0;//m表示现在筛出m个质数
void primes(int n)
{
    v[1] = 1;//1不是质数，提前处理
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(v[i]==0)//如果v[i]为0，说明 i 之前没有被筛到过，i 为质数
             prime[++m] = i;
        for(int j = 1;j<=m;j++)//遍历小于 i 的所有质数
        {
            //乘起来大于就跳出循环
            if(prime[j] > n/i) break;
            v[i*prime[j]] = 1;//标记 i*prime[j] 的最小质因数是prime[j]
             //当遇到最小的质数是i的因数时，break
             if(i%prime[j]==0)break;
        }
    }
}

版本二的改进版本

void get_primes(int n)
{
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        if (!st[i])
        {
            minp[i] = i;
            primes[cnt ++ ] = i;
        }
        for (int j = 0; primes[j] * i <= n; j ++ )
        {
            int t = primes[j] * i;
            st[t] = true;
            minp[t] = primes[j];
            if (i % primes[j] == 0) break;
        }
    }
}