质数的筛选

目录

  • 质数的筛选
    • Eratosthenes筛法
    • Euler筛法(线性筛法)
    • 线性筛法
      • 线性筛法的核心原理
      • 过程
      • 版本一
      • 版本二
      • 版本二的改进版本

质数的筛选

Eratosthenes筛法

Euler筛法(线性筛法)

线性筛法

Eratosthenes 筛法利用的原理是 任意整数 x 的倍数 2x,3x,... 等都不是质数

但是即便如此也会有重复标记的现象,例如12既会被2又会被3标记,在标记2的倍数时,12=6∗212=6∗2,在标记3的倍数时,12=4∗312=4∗3 ,根本原因是没有找到唯一产生12的方式。

线性筛法的核心原理

每个合数必有一个最大因子(不包括它本身),用这个因子把合数筛掉

换言之:每个合数必有一个最小素因子,用这个因数把合数筛掉

过程

假设对于一个确定的整数 ii,ii 是一个合数 tt 的最大因数,tt 显然可能不唯一(例如 30 和 45 最大因数都是 15)。但是仔细想一想,必然有一个p,满足:

t=i∗p (p≤i,p是质数)t=i∗p (p≤i,p是质数)

  • pp为什么一定小于等于 ii?因为 ii 是 tt 的最大因数。
  • 为什么 pp 一定是质数?因为如果 pp 是合数,那么 ii 就一定不是 tt 的最大因数,因为 pp 可以再拆成若干素数相乘,这些素数再与 ii 相乘会使该因数更大。

既然如此,我们只需要把所有小于 ii 的质数 pp 都挨个乘一次拿到所有合数就好了。可是,这样就不会有重复标记嘛?

会的,我们一不小心就忘记了最初的条件。我们要满足 ii 是 tt 的最大因数。如果 pp 大于 ii 的最小质因数,那 ii 还是 tt 的最大因数嘛?显然不是,任何一个合数 tt 都能唯一分解为有限个质数的乘积,除去这其中最小的质因数,其他的都乘起来就是最大因数 ii 。所以我们不能让 pp 大于 ii 的最小质因数(设为xx),否则 ii 将不再是 t=i∗pt=i∗p 的最大因数,其最大因数应该是i∗p/xi∗p/x 。

下面有两个版本,核心处理稍有一点点不同,理解即可。

版本一

  • v[i] 表示 i 的最小质因数。如果i就是质数,那么v[i] = i
  • prime[j] 表示第 j 个质数。与之前的筛法不同,这个数组是存放质数的,而不是标记质数的
#define MAXN 1000012
int prime[MAXN],v[MAXN];
int m=0;//m表示现在筛出m个质数
void primes(int n)
{
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(v[i]==0)//如果v[i]为0,说明 i 之前没有被筛到过,i 为质数
        {
            v[i] = i;
             prime[++m] = i;
        }
        for(int j = 1;j<=m;j++)//遍历小于 i 的所有质数
        {
            //如果质数大于 i 的最小质因数或者乘起来大于n就跳出循环
            if(prime[j] > v[i] || prime[j] > n/i) break;
            v[i*prime[j]] = prime[j];//标记 i*prime[j] 的最小质因数是prime[j]
        }
    }
}

版本二

  • v[i] i 为质数则为0,否则为 1
  • prime[j] 与上面相同
Copy#define MAXN 1000000
int prime[MAXN],v[MAXN];
int m=0;//m表示现在筛出m个质数
void primes(int n)
{
    v[1] = 1;//1不是质数,提前处理
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(v[i]==0)//如果v[i]为0,说明 i 之前没有被筛到过,i 为质数
             prime[++m] = i;
        for(int j = 1;j<=m;j++)//遍历小于 i 的所有质数
        {
            //乘起来大于就跳出循环
            if(prime[j] > n/i) break;
            v[i*prime[j]] = 1;//标记 i*prime[j] 的最小质因数是prime[j]
             //当遇到最小的质数是i的因数时,break
             if(i%prime[j]==0)break;
        }
    }
}

版本二的改进版本

void get_primes(int n)
{
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        if (!st[i])
        {
            minp[i] = i;
            primes[cnt ++ ] = i;
        }
        for (int j = 0; primes[j] * i <= n; j ++ )
        {
            int t = primes[j] * i;
            st[t] = true;
            minp[t] = primes[j];
            if (i % primes[j] == 0) break;
        }
    }
}

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