1. 不定积分
1.1 原函数和不定积分
前面的微分学讨论了导数对函数局部值的影响，现在开始就来看看整体的导函数能确定怎样的函数？换句话说，已知导函数的情况下，能否确定函数本身。对于不是处处有定义的导函数，为了简单起见，可以把它拆分成多个区间讨论。为此，对于区间\(I\)上处处有定义的导函数\(f(x)\)，如果存在函数满足\(F'(x)=f(x)\)，那么\(F(x)\)称为\(f(x)\)的原函数。
前面我们已经知道，区间上导函数相同的函数之间只相差一个常数，从而如果原函数\(F(x)\)存在，任意原函数可表示为\(F(x)+C\)。全体原函数也称为\(f(x)\)的不定积分，记作\(\int f(x)\,\text{d}x\)，可以写成式（1）。积分符号表示了导数的累积，它的意义将在定积分中看得很清楚。求原函数的过程称为积分，它与微分（求导）是逆运算，根据导数公式可以得到相应的积分公式。
\[\int f(x)\,\text{d}x=F(x)+C,\quad(C\in\Bbb{R})\tag{1}\]
| \(f(x)\) | \(\int f(x)\,\text{d}x\) |
| \(0\)， \(1\) | \(C\)， \(x+C\) |
| \(x^{\mu}\,(\mu\ne -1)\)， \(\dfrac{1}{x}\) | \(\dfrac{1}{\mu+1}x^{\mu+1}\)，\(\ln{|x|}+C\) |
| \(\dfrac{1}{1+x^2}\)， \(\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) | \(\arctan{x}+C=-\text{arccot}\,{x}+C\)， \(\arcsin{x}+C=-\arccos{x}+C\) |
| \(a^x\)， \(e^x\) | \(\dfrac{1}{\ln{a}}a^x\)， \(e^x+C\) |
| \(\sin{x}\)， \(\cos{x}\) | \(-\cos{x}+C\)， \(\sin{x}+C\) |
| \(\dfrac{1}{\sin^2{x}}\)， \(\dfrac{1}{\cos^2{x}}\) | \(-\cot{x}+C\)， \(\tan{x}+C\) |
| \(\sinh{x}\)， \(\cosh{x}\) | \(\cosh{x}+C\)， \(\sinh{x}+C\) |
| \(\dfrac{1}{\sinh^2{x}}\)， \(\dfrac{1}{\cosh^2{x}}\) | \(-\coth{x}+C\)， \(\tanh{x}+C\) |
1.2 积分的方法
针对组合函数的求导，前面给出了一些公式，这里相应地给出积分的方法。首先，对于常量乘和加减法，容易有（2）式成立，将函数进行拆解积分是最常用的方法。利用导数的乘法公式，容易有式（3）成立，这个方法也叫分部积分法。分部积分法中，往往函数分为两部分，其中一部分容易求积，而另一部分的导数比较简单，这样整个式子就可以化简。另外，分部积分有时还能推导出积分方程或递推函数，这些结论都能间接地求得积分。
\[\int [\,af(x)+bg(x)\,]\,\text{d}x=a\int f(x)\,\text{d}x+b\int g(x)\,\text{d}x\tag{2}\]
\[\int u(x)\,\text{d}v(x)=u(x)v(x)-\int v(x)\,\text{d}u(x)\tag{3}\]
• 求积分：\(\int\ln{x}\,\text{d}x\)、\(\int x\sin{x}\,\text{d}x\)；
• 求积分：\(\int e^x\sin{x}\,\text{d}x\)、\(\int \dfrac{1}{(x^2+1)^n}\,\text{d}x\)。
根据复合函数的求导公式，如果\(f(x)\)在\(I\)上有原函数，可以有式（3）成立，它被称为换元积分法。之前定义中，积分符号\(\int\,\text{d}x\)是一个整体，式（4）则说明\(\text{d}x\)也可以作为微分符号自由使用。换元法看似简单，但使用中却经常需要很强的技巧和丰富的经验，大量的习题锻炼是必不可少的。
\[\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,\text{d}t=\int f(x)\,\text{d}x,\quad(x=\varphi(x))\tag{4}\]
但要注意，公式（4）的使用可以是两个方向的，从左向右的拼凑称为第一换元法，反过来叫第二换元法。第一换元法中比较常见的就是\(x=at+b\)的情况（式（5）），有些简单的积分甚至应该作为结论记住。第二换元法常见于函数可以通过参数化\(x=\varphi(t)\)来简化，且\(f(\varphi(t))\varphi'(t)\)有比较简单的形式，熟悉三角函数公式将非常有利。
\[\int f(at+b)\,\text{d}t=\dfrac{1}{a}\int f(x)\,\text{d}x\tag{5}\]
• 求积分：\(\int\dfrac{1}{a^2+t^2}\,\text{d}t\)、\(\int\dfrac{1}{a^2-t^2}\,\text{d}t\)、\(\int\tan{t}\,\text{d}t\)、\(\int\dfrac{1}{\sin{t}}\,\text{d}t\)；
• 求积分：\(\int\sqrt{a^2-x^2}\,\text{d}x\)、\(\int\dfrac{1}{(x^2+a^2)^2}\,\text{d}x\)、\(\int\dfrac{1}{\sqrt{x^2+\alpha}}\,\text{d}x\)。
1.3 特殊类型的积分
1.3.1 有理分式
对于某些形式的函数，已经有了统一的求积方案，这里举一些例子。由多项式\(P(x),Q(x)\)组成的方式\(\dfrac{P(x)}{Q(x)}\)称为有理分式，我们当然只需要解决\(P(x)\)的次数小于\(Q(x)\)的情况（称为真分式）。由之前的代数知识可知，在实数域中多项式总可以分解为一次项和二次项之积，从而真分式总可以分解为式（6）中的两种简单分式，他们也被称为最简分式或部分分式。分解的时候可以用待定系数法解方程组，确定系数的过程中先用\(x=a\)带入可以加速计算过程。
\[\dfrac{A}{(x-a)^k};\quad\dfrac{Ax+B}{(x^2+px+q)^k},\:(p^2-4q<0)\tag{6}\]
式（6）中\(\dfrac{A}{(x-a)^k}\)很容易求积分，\(\dfrac{Ax}{(x^2+px+q)^k}\)使用\(x=t-\dfrac{p}{2}\)换元也很容易解决。如果你做了前面的习题，可以得到\(\dfrac{B}{(x^2+px+q)^k}\)的递推公式，所以任何有理分式都可以按步骤积分。
仔细研究积分的具体过程，其实还能发现积分式总可以分解为有理分式部分和其它部分（式（7）），其中\(Q(x)=\prod(x-a_i)^{m_i}\prod(x^2+p_jx+q_j)^{n_j}\)，\(Q_2(x)=\prod(x-a_i)\prod(x^2+p_jx+q_j)\)且\(Q_1(x)=\dfrac{Q(x)}{Q_2(x)}\)。基于这个结论，也可以用待定系数法加速求解。
\[\int\dfrac{P(x)}{Q(x)}\,\text{d}x=\dfrac{P_1(x)}{Q_1(x)}+\int\dfrac{P_2(x)}{Q_2(x)}\,\text{d}x\tag{7}\]
1.3.2 三角有理分式
还有一种常见的函数，它是由三角函数组成的有理分式，由于每个三角函数都可以表示为\(\sin{x},\cos{x}\)的有理分式，故这些函数都是\(\sin{x},\cos{x}\)的有理分式\(R(\sin{x},\cos{x})\)。设\(t=\tan{\dfrac{x}{2}}\)，由万能公式可知式（8）成立，从而使用换元法可将原积分转化为一般的有理分式。
\[\sin{x}=\dfrac{2t}{1+t^2};\quad\cos{x}=\dfrac{1-t^2}{1+t^2};\quad\text{d}x=\dfrac{2\,\text{d}t}{1+t^2}\tag{8}\]
但对于一些特殊情况，还是可以通过其它换元法简化积分的。比如如果\(R(-\sin{x},\cos{x})=-R(\sin{x},\cos{x})\)，则\(\dfrac{R(\sin{x},\cos{x})}{\sin{x}}\)必定具有形式\(R'(\cos^2{x},\sin{x})\)。也就是说\(R(\sin{x},\cos{x})=R''(\cos{x}\sin{x})\)，使用\(t=\cos{x}\)换元即把问题转化成\(-R''(t)\)的积分。同样的方法可以应用于\(R(\sin{x},-\cos{x})=-R(\sin{x},\cos{x})\)的场景。
如果\(R(-\sin{x},-\cos{x})=R(\sin{x},\cos{x})\)，易知\(R(\sin{x},\cos{x})=R'(\sin^2{x},\cos^2{x})\)，这两个都能转化为\(\tan{x}\)的有理分式。令\(t=\tan{x}\)则有\(\text{d}x=\dfrac{\text{d}t}{1+t^2}\)，所以原积分可以转化为\(R''(t)\)的积分。
• 求积分：\(\int\sin^4{x}\cos^5{x}\,\text{d}x\)，\(\int\dfrac{\sin^4{x}}{\cos^2{x}}\,\text{d}x\)。
1.3.3 一些根式函数
对于一些带根式的函数，通过适当的换元法，也可以达到消除根式的目的。比如对于式（9），设\(r,\cdots,s\)分母的最小公倍数为\(n\)，则只需做换元\(t=\sqrt[n]{\dfrac{ax+b}{cx+d}}\)即可转化为\(t\)的有理分式。\(x^r(ax^s+b)^p\)通常被称为二项式微分，其中\(r,s,p\)为有理数且\(a,b\ne 0\)，使用\(t=x^s\)换元可得是（10）。易证如果\(p,q,p+q\)中有一个为整数，式（10）都可以转化为式（9）的类型。切比雪夫还证明了，除了这三种情况外，积分都不能用初等函数表示。
\[R[\,x,(\dfrac{ax+b}{cx+d})^r,\cdots,(\dfrac{ax+b}{cx+d})^s\,],\quad(r,s\in\Bbb{Q})\tag{9}\]
\[\int x^r(ax^s+b)^p\,\text{d}x=\dfrac{1}{s}\int t^q(at+b)^p\,\text{d}x,\quad(p=\dfrac{r+1}{s}-1)\tag{10}\]
还有一类根式函数是\(R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\)，对它的处理关键在于寻找参数\(t\)使得\(x,\sqrt{ax^2+bx+c}\)都是\(t\)的有理分式。当\(a>0\)时令\(\sqrt{ax^2+bx+c}=t-\sqrt{a}x\)，当\(c>0\)时令\(\sqrt{ax^2+bx+c}=tx+\sqrt{c}\)，当\(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\)时令\(\sqrt{ax^2+bx+c}=t(x-x_i)\)。显然，这三种代换都能达到目的，它们被称为欧拉代换。
2. 定积分
2.1 定积分的定义
导数是函数在局部的趋势，我们想知道，一个导函数能否确定函数的整个走势？存在不定积分的导函数当然满足条件，但还是没有回答，导函数究竟要满足怎样的条件。设导函数\(f(x)\)定义在\([a,b]\)上，且原函数\(F(x)\)有个起始值\(F(a)\)，为了逼近函数的走向，可以将\([a,b]\)分割为\(n\)小块，分割点为\(a=x_0,x_1,\cdots,x_{n-1},x_n=b\)，并记\(\varDelta x_i=(x_{i+1}-x_i)\)。如果分的块足够小，感觉可以用\(F(a)+\sum\limits_{i=0}^{n-1}f(x_i)\varDelta x_i\)来近似\(F(b)\)。
你可能注意到，上式中的累加部分也可以做为函数\(f(x)\)在\([a,b]\)间的近似面积，对它的研究比较重要。其实历史上定积分的概念，就是从计算图形面积中引出的，它比微分的概念还要早。所以我们完全有必要将它作为独立的问题来研究，之后再回头看它跟导数的关系。再将问题重新描述一下，对\([a,b]\)上的任意函数\(f(x)\)，作任意分割\(\pi\)，任取\(\xi_i\in [x_i,x_{i+1}]\)并记\(\lambda=\max{(x_{i+1}-x_i)}\)，考察式（11）的和数。
\[\sigma=\sum\limits_{i=0}^{n-1}f(\xi_i)\varDelta x_i\tag{11}\]
如果以式（11）作为区间面积或\(F(b)-F(a)\)的近似值，必须要求无论\(\pi\)和\(\xi\)如何选取，在\(\lambda\to 0\)时\(\sigma\)趋于固定值\(I\)。用\(\varepsilon\)-\(\delta\)语言描述就是，对任意\(\varepsilon>0\)都存在\(\delta>0\)，使得\(\lambda<\delta\)时总有\(|\sigma-I|<\varepsilon\)。这时也说\(I\)是\(\sigma\)的极限（与之前的极限不同），并称\(f(x)\)在\([a,b]\)上可积，\(I\)为其定积分，记作式（12）。另外，\(\sigma\)被称为积分和，\(a,b\)称为积分的下限和上限。
\[\lim_{\lambda\to 0}{\sigma}=I\quad\Leftrightarrow\quad\int_{a}^{b}{f(x)}\,\text{d}x=I\tag{12}\]
定积分可以作为面积的一种定义，但它的合理性还需要检验（兼容规则图形面积的定义），而且它的值是否等于\(F(b)-F(a)\)还未确定。这种积分比较复合直观感觉，它由黎曼提出，因此也叫黎曼积分，相应地有黎曼可积、黎曼和等概念，与这里的定义等价。并不是所有函数都是可积的，比如狄利克雷函数（有理数为\(1\)其它为\(0\)），再比如没有上界或下界的函数，从而可积函数必有限。
2.2 定积分的性质
为讨论可积的条件，这里先介绍另一个更常用的工具。记\(m_i,M_i\)为\(f(x)\)在\([x_i,x_{i+1}]\)上的上下、上确界，并称式（13）为达布下和与达布上和，显然有\(s\leqslant\sigma\leqslant S\)。如果\(s,S\)来自不同的分割，合并这些分割，容易看出总有\(s\leqslant S\)。这就说明对任何分割\(s,S\)分别有上界和下界，如果它们的确界相等即\(S-s\to 0\)，则\(f(x)\)可积。反之显然成立，从而\(f(x)\)可积的充要条件是\(S-s\to 0\)。
\[s=\sum\limits_{i=0}^{n-1}f(m_i)\varDelta x_i;\quad S=\sum\limits_{i=0}^{n-1}f(M_i)\varDelta x_i\tag{13}\]
根据以上结论，可以比较容易地得出一些可积函数。如果\(f(x)\)连续，则在\([a,b]\)一致连续，容易证明它满足式（12），从而可积。进而可知，存在有限个间断点的有界函数也是可积的。同样利用式（12），可证单调有界函数可积。在已知可积的情况下，可以选择方便计算的分割方法。
如果定义\(\int_{b}^{a}{f(x)}\,\text{d}x=-\int_{a}^{b}{f(x)}\,\text{d}x\)，则不论\(a,b,c\)的大小如何，容易证明式（14）成立。当\(f(x),g(x)\)在\([a,b]\)上可积时，利用式（13）可证式（15）可积且公式成立，还容易证式（16）成立。如果\(f(x)\)可积，利用式（12）可以证明\(|f(x)|\)也可积，且根据式（16）可有式（17）成立。
\[\int_{a}^{c}{f(x)}\,\text{d}x=\int_{a}^{b}{f(x)}\,\text{d}x+\int_{b}^{c}{f(x)}\,\text{d}x\tag{14}\]
\[\int_{a}^{b}{[\,cf(x)+dg(x)\,]}\,\text{d}x=c\int_{a}^{b}{f(x)}\,\text{d}x+d\int_{a}^{b}{g(x)}\,\text{d}x\tag{15}\]
\[f(x)\geqslant g(x)\quad\Rightarrow\quad\int_{a}^{b}{f(x)}\,\text{d}x\geqslant\int_{a}^{b}{g(x)}\,\text{d}x\tag{16}\]
\[\int_{a}^{b}{|f(x)|}\,\text{d}x\geqslant\left|\int_{a}^{b}{f(x)}\,\text{d}x\right|\tag{17}\]
设\(f(x),g(x)\)在\([a,b]\)上可积，\(m\leqslant f(x)\leqslant M\)，如果\(g(x)\)不变号，则\(f(x)g(x)\)在\(mg(x),Mg(x)\)之间。也就是说\(\int_{a}^{b}{f(x)g(x)}\,\text{d}x\)在\(m\int_{a}^{b}{g(x)}\,\text{d}x\)和\(M\int_{a}^{b}{g(x)}\,\text{d}x\)之间，从而存在\(m\leqslant \mu\leqslant M\)使得式（18）左成立，取\(g(x)=1\)还有（18）右式成立。当\(f(x)\)连续时，由中值定理对应还有式（19）成立，这个结论被称为积分第一中值定理。
\[\int_{a}^{b}{f(x)g(x)}\,\text{d}x=\mu\int_{a}^{b}{g(x)}\,\text{d}x;\quad\int_{a}^{b}{f(x)}\,\text{d}x=\mu(b-a)\tag{18}\]
\[\int_{a}^{b}{f(x)g(x)}\,\text{d}x=f(\xi)\int_{a}^{b}{g(x)}\,\text{d}x;\quad\int_{a}^{b}{f(x)}\,\text{d}x=f(\xi)(b-a)\tag{19}\]
2.3 定积分的计算
2.3.1 基本方法
现在就来回答前面的问题：定积分能否作为面积的定义？它是否等于\(F(b)-F(a)\)？这两个问题都指向了定积分的值。设\(\Phi(x)=\int_{a}^xf(t)\,\text{d}t\)，现在来研究值函数\(\Phi(x)\)的性质。首先对于任意\(x_0\in [a,b]\)领域，有式（20）成立。所以当\(x\to x_0\)时，由\(f(x)\)有界可知\(\Phi(x)\to\Phi(x_0)\)，也就是说\(\Phi(x)\)是连续函数。如果\(f(x)\)在\(x_0\)还是连续的，则还有\(\dfrac{\Phi(x)-\Phi(x_0)}{x-x_0}\to f(x_0)\)，所以\(\Phi(x)\)在\(x_0\)可导且\(\Phi'(x_0)=f(x_0)\)。
\[\Phi(x)-\Phi(x_0)=\int_{x_0}^xf(t)\,\text{d}t=f(\xi)(x-x_0)\tag{20}\]
如果\(f(x)\)是连续函数，上面的结论就是说\(\int_{a}^xf(t)\,\text{d}t\)是可微函数，且有式（21）成立。所以连续函数都存在原函数\(F(x)=\int_{a}^xf(t)\,\text{d}t+C\)，并且有式（22）成立（最后是简写），这就回答了上面的问题。式（22）也叫牛顿-莱布尼兹公式，它把微分和积分完美地结合在了一起，由此也被称之为微积分基本公式。但要注意，该结论对\(f(x)\)不连续的场景不一定适用，以下默认\(f(x)\)连续。
\[\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}\int_a^xf(t)\,\text{d}x=f(x)\tag{21}\]
\[\int_a^bf(x)\,\text{d}x=F(b)-F(a)=F(x)\left.\right|_a^b\tag{22}\]
有了以上结论，就可以用换元法和分部积分法来求定积分。如果\(\varphi(t)\)有连续导数（为保证积分存在），且\(\varphi(\alpha)=a,\varphi(\beta)=b\)，则有式（23）成立。这个式子同样可以从两个方向使用，有时候它还可以起到变形化简的作用，尤其是在有三角函数的表达式中。
\[\int_a^bf(x)\,\text{d}x=\int_{\alpha}^{\beta}f(\varphi(t))\varphi'(t)\,\text{d}t\tag{23}\]
• 求定积分：\(\int_0^{\pi}\dfrac{x\sin{x}}{1+\cos^2{x}}\,\text{d}x\)；（提示：拆分为两段，并对其中一个变形）
• 设\(f(x)\)的周期为\(T\)，求证：\(\int_a^{a+T}f(x)\,\text{d}x=\int_0^Tf(x)\,\text{d}x\)。
2.3.2 分部积分
同样可以使用分部积分法，设\(u(x),v(x)\)有连续导数，则有式（23）成立。该式除了可以化简积分，有时还可以推导出方程式或递推式，间接地可以求得定积分。比如使用递推式可以求得式（24）定积分，用这个式子还能得出\(\pi\)的估算式。
\[\int_a^bu(x)\,\text{d}v(x)=[\,u(x)v(x)\,]\left.\right|_a^b-\int_a^bv(x)\,\text{d}x\tag{23}\]
\[I_m=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^m{x}\,\text{d}x=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^m{x}\,\text{d}x=\begin{cases}\dfrac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\cdot\dfrac{\pi}{2},&(m=2n)\\\\\dfrac{(2n)!!}{(2n+1)!!},&(m=2n+1)\end{cases}\tag{24}\]
分部积分还能帮我们得到乘法积分\(\int_a^bf(x)g(x)\,\text{d}x\)的另一种估算，问了能分部积分，先设\(g(x)\)连续、\(f(x)\)的导数连续，并令\(G(x)=\int_a^xg(x)\,\text{d}x\)。使用分部积分有式（25）成立，如果再令\(f(x)\)非负且\(f'(x)\leqslant 0\)，并记\(G(x)\)的最大（小）值为\(M\)（\(m\)），可以推导出\(\int_a^bf(x)g(x)\,\text{d}x\in [mf(a),Mf(a)]\)。再由\(G(x)\)的连续性可知存在\(\xi\in[a,b]\)，使得式（26）左成立。如果\(f'(x)\geqslant 0\)，令\(G(x)=\int_x^bg(x)\,\text{d}x\)，同样可证式（26）右成立。如果不限定\(f(x)\)的符号，可用\(f(x)-f(b)\geqslant 0\)代替\(f(x)\)（比如\(f'(x)\leqslant 0\)），带入上面的结论整理可得式（27），式（26）（27）被称为积分第二中值定理。
\[\int_a^bf(x)g(x)\,\text{d}x=f(b)G(b)-\int_a^bG(x)f'(x)\,\text{d}x\tag{25}\]
\[\int_a^bf(x)g(x)\,\text{d}x=f(a)\int_a^{\xi}g(x)\,\text{d}x;\quad\int_a^bf(x)g(x)\,\text{d}x=f(b)\int_{\xi}^bg(x)\,\text{d}x\quad\tag{26}\]
\[\int_a^bf(x)g(x)\,\text{d}x=f(a)\int_a^{\xi}g(x)\,\text{d}x+f(b)\int_{\xi}^bg(x)\,\text{d}x\tag{27}\]
最后我们用定积分来表示泰勒公式的余项，设\(f(x)\)在\(x_0\)领域内有直到\(n+1\)阶的连续导数，则有\(r(x_0)=r'(x_0)=\cdots=r^{(n)}(x_0)=0\)和\(r^{(n+1)}(x)=f^{(n+1)}(x)\)。连续进行式（28）的推断，可以得到\(r(x)\)的精确表达式（29），它不再有不确定的成分。
\[r(x)=\int_{x_0}^xr'(t)\,\text{d}t=\int_{x_0}^xr'(t)\,\text{d}(t-x)=r'(t)(t-x)\left.\right|_{x_0}^x-\int_{x_0}^xr''(x)(t-x)\,\text{d}t=\int_{x_0}^xr''(t)(x-t)\,\text{d}t\tag{28}\]
\[r(x)=\dfrac{1}{n!}\int_{x_0}^xf^{(n+1)}(t)(x-t)^n\,\text{d}t\tag{29}\]