逆序对数

题目：在数组中的两个数字，如果前面一个数字大于后面的数字，则这两个数字组成一个逆序对。输入一个数组,求出这个数组中的逆序对的总数P。并将P对1000000007取模的结果输出。 即输出P%1000000007

解题思路：

我们以数组{7,5,6,4}为例来分析统计逆序对的过程。每次扫描到一个数字的时候，我们不拿ta和后面的每一个数字作比较，否则时间复杂度就是O(n^2)，因此我们可以考虑先比较两个相邻的数字。

(a) 把长度为4的数组分解成两个长度为2的子数组；

(b) 把长度为2的数组分解成两个成都为1的子数组；

(c) 把长度为1的子数组 合并、排序并统计逆序对 ；

(d) 把长度为2的子数组合并、排序，并统计逆序对；

在上图（a）和（b）中，我们先把数组分解成两个长度为2的子数组，再把这两个子数组分别拆成两个长度为1的子数组。接下来一边合并相邻的子数组，一边统计逆序对的数目。在第一对长度为1的子数组{7}、{5}中7大于5，因此（7,5）组成一个逆序对。同样在第二对长度为1的子数组{6}、{4}中也有逆序对（6,4）。由于我们已经统计了这两对子数组内部的逆序对，因此需要把这两对子数组 排序 如上图（c）所示， 以免在以后的统计过程中再重复统计。

接下来我们统计两个长度为2的子数组子数组之间的逆序对。合并子数组并统计逆序对的过程如下图如下图所示。

我们先用两个指针分别指向两个子数组的末尾，并每次比较两个指针指向的数字。如果第一个子数组中的数字大于第二个数组中的数字，则构成逆序对，并且逆序对的数目等于第二个子数组中剩余数字的个数，如下图（a）和（c）所示。如果第一个数组的数字小于或等于第二个数组中的数字，则不构成逆序对，如图b所示。每一次比较的时候，我们都把较大的数字从后面往前复制到一个辅助数组中，确保 辅助数组（记为copy） 中的数字是递增排序的。在把较大的数字复制到辅助数组之后，把对应的指针向前移动一位，接下来进行下一轮比较。

 

过程：先把数组分割成子数组，先统计出子数组内部的逆序对的数目，然后再统计出两个相邻子数组之间的逆序对的数目。在统计逆序对的过程中，还需要对数组进行排序。如果对排序算法很熟悉，我们不难发现这个过程实际上就是归并排序。参考代码如下：

class Solution:
    def InversePairs(self, data):
        # write code here
        return self.inverseCount(data[:], 0, len(data)-1, data[:])%1000000007
       
    def inverseCount(self, tmp, start, end, data):
        if end-start <1:
            return 0
        if end - start == 1:
            if data[start]<=data[end]:
                return 0
            else:
                tmp[start], tmp[end] = data[end], data[start]
                return 1
        mid = (start+end)//2
        cnt = self.inverseCount(data, start, mid, tmp) + self.inverseCount(data, mid+1, end, tmp)
        # print(start, mid, end, cnt, data)
        i = start
        j = mid + 1
        ind = start
           
        while(i <= mid and j <= end):
            if data[i] <= data[j]:
                tmp[ind] = data[i]
                i += 1
            else:
                tmp[ind] = data[j]
                cnt += mid - i + 1
                j += 1
            ind += 1
        while(i<=mid):
            tmp[ind] = data[i]
            i += 1
            ind += 1
        while(j<=end):
            tmp[ind] = data[j]
            j += 1
            ind += 1
        return cnt

还有一个更简洁的方法，时间复杂度也是nlogn

先将原序列排序，然后从排完序的数组中取出最小的，它在原数组中的位置表示有多少比它大的数在它前面，每取出一个在原数组中删除该元素，保证后面取出的元素在原数组中是最小的，这样其位置才能表示有多少比它大的数在它前面，即逆序对数。

代码如下：

class Solution:
    def InversePairs(self, data):
        count = 0
        copy = []
        for i in data:
            copy.append(i)
        copy.sort()
        for i in range(len(copy)):
            count += data.index(copy[i])
            data.remove(copy[i])
        return count%1000000007