1.1方程求根之二分法

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前言

对于普通的方程，我们用高中学的解方程方法是可以的，不过对于 超越方程 与 高次代数方程 的求解是很困难的，而且也很难得到准确得解，今天我们用Python语言和二分法来求解这些方程，得到满足精度的解，并不是准确。

（一）二分法的分析

1.定义：

在某区间有函数 在区间 内单调连续，且 ,根据连续函数的性质可知方程在 内一定有唯一的实根。

2.需要满足的条件：

1. 是单调函数
2. 是连续函数

3.二分法的思想：

不断的分割 区间，取 的中点值

1. 当 时，则根在 之间;
2. 当 时，则根在 之间。
3. 再分割

直到满足我们的精度，我们取 为 的近似解。

4.二分法的误差：

我们取的是:第k次分割后的中间值为近似解。

即：

对于预先给定的误差：

有：

（二）代码实现

1.算法流程图：

二分法流程图.jpg

2.源代码：

（1）feval函数：

def feval(string, a):
    """
        根据值来计算数学表达式。
    :param string: 含有x未知数的数学表达式
    :param a: 自变量x的具体数值
    :return:  数学表达式的计算结果
    """
    count = string.count("x")
    string = string.replace('x', '%f')
    t = (a, ) * count
    result = eval(string % t)
    return result

（2）二分法

"""
    二分法：
    f(a)*f(b)<0 连续函数f(a)在a,b区间必有根。
"""
from my_math.func_math import feval

def two_fun(expr, a, b, r):
    """
        二分法求解方程
    :param expr: 方程表达式
    :param a: 左端
    :param b: 右端
    :param r: 精度
    :return: 求解的结果
    """
    f_a = feval(expr, a)
    f_b = feval(expr, b)
    if f_a*f_b >= 0:
        print("该区间没有根")
    else:
        k = 0
        while 1/(2**(k+1)) > r:
            x = (b + a)/2
            if feval(expr, a) * feval(expr, x) > 0:
                a = x
            else:
                b = x
            k += 1
            print("*"*20)
            print("次数", k)
            print("x:", x)
            print("a:", a)
            print("b:", b)

    result = (a+b)/2
    print("满足精度的结果：", result)

# 求解1-x-sin(x)=0为例
if __name__ == '__main__':
    two_fun("1-x-sin(x)", 0, 1, 10**-4)

（三）案例效果

1.求解：

使用二分法求解 ,误差范围不超过

（1）确定范围：

使用到数学绘图软件，根据数学表达式绘制曲线。

绘图软件的下载网址

https://www.cnblogs.com/zyg123/p/10385517.html#%E7%9B%AE%E5%BD%95

a. 大致的图像：

02.png

b.利用放大按钮，放大后的图像：

03.png

c.范围是：[0, 1]内必有根

（2）运行结果：

---

次数 1
x: 0.5
a: 0.5
b: 1

---

…………

---

次数 13
x: 0.5108642578125
a: 0.5108642578125
b: 0.510986328125

满足精度的结果： 0.51092529296875

取结果是：0.5109

2.求解：

要求误差不超过，

（1）确定范围：

根据下面图像，取范围：[1.8, 2.0]

05.png

04.png

（2）运行结果：

---

次数 1
x: 1.9
a: 1.9
b: 2.0

---

…………

---

次数 9
x: 1.933984375
a: 1.93359375
b: 1.933984375

满足精度的结果： 1.9337890625

取结果是：1.934

3.求解：

要求误差不超过：

（1）确定范围：

根据下面图像，取范围是：[-2, 2]

06.png

07.png

（2）运行结果：

---

次数 1
x: 0.0
a: 0.0
b: 2.0

---

…………

---

次数 9
x: 1.3203125
a: 1.3203125
b: 1.328125

满足精度的结果： 1.32421875

取结果是：1.324

作者：Mark

日期：2019/02/17 周日