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# 四 随机变量的数字特征
## 1.数学期望
离散型
$$
E(X)=\sum_{k=1}^{\infty}x_kp_k
$$
连续性
概率密度为 f(x)
$$
E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)d_x
$$
若X=g(x),则把上面二式x换为g(x)。
Z=g(X,Y),概率密度f(x,y),则
$$
E(Z)=E[g(X,Y)]=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}g(x,y)f(x,y)d_xd_y
$$
### 1.1 性质
* C是常数，E(C)=C。
* E(CX)=C E(X)
* E(X+Y)=E(X)+E(Y)
* X,Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y)
## 2 方差
定义：若E{ [X-E(X)]^2^ }存在，则为X的方差，记为D(X)或Var(X).
标准差（或均方差）$\sigma(X)=\sqrt{D(x)}$
离散型
$$
D(X)=\sum_{k=1}^{\infty}[x-E(X)]^2f(x)d_x
$$
连续型
$$
D(X)=\int_{-\infty}^{\infty}[x-E(X)]^2f(x)d_x
$$
D(X)=E(X^2^)-[E(X)]^2^
### 2.1 方差性质
X具有（0，1）分布，X~$\pi(\lambda)$ E(X)=D(X)=$\lambda$
X~U(a,b) E(X)=$\frac{a+b}{2}$ D(X)=$\frac{(b-a)^2}{12}$
X~b(n,p) E(X)=np D(X)=np(1-p)
X~N($\mu$,$\sigma^2$) E(X)=$\mu$ D(X)=$\sigma^2$
X服从指数分布，则其概率密度
$$
\begin{eqnarray}
f(x)=
\begin{cases}
\frac{1}{\theta} & x>0 \\
0 & x\le0\\
\end{cases}
\end{eqnarray}
$$
E(X)=$\theta$ D(X)=$\theta^2$
- C是常数,则D(C)=0
- D(CX)=C^2^ D(X) D(X+C)=D(X)
- D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{ ( X-E(X) ) (Y-E(Y) ) },若X,Y相互独立，则 D(X+Y)=D(X)+D(Y)
- D(X)=0 $\Longleftrightarrow$ P{X=E(X)}=1
### 2.2 Chebyshev不等式
E(X)=$\mu$, D(X)=$\sigma^2$ ,对于任意正数$\varepsilon$ ,P{|X-$\mu$|$\ge\varepsilon$}$\le\frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}$ ，或者
P{|X-$\mu$|$<\varepsilon$}$\ge1-\frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}$
## 3 协方差及相关系数
若X,Y相互独立，则E{[X-E(X)]\[Y-E(Y)]}=0,即X与Y的协方差，记为Cov(X,Y),为0。
Cov(X,Y)=E{[X-E(X)]\[Y-E(Y)]}
X与Y的相关系数$\rho_{XY}$=$\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}$
Cov(X,Y)=Cov(Y,X) Cov(X,X)=D(X)
D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(x,y)
Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) #常用于计算协方差
### 3.1 协方差性质
* Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)
* Cov($X_1+X_2$,$Y$)=Cov($X_1,Y$)+Cov($X_2,Y$)
### 3.2 协方差定理
$|\rho_{XY}|\le1$
$|\rho_{XY}|\Longleftrightarrow$ 存在常数a，b，使$P \{Y=a+bX\}=1$
## 4 矩、协方差定理