ML2 - 梯度下降 Gradient Descent

3.Gradient Descent

3.1 Tuning Learning Rates

Gradient Descent.png

梯度下降算法中最重要的参数是学习速率η。学习速率过小，迭代过慢，花费时间长；学习速率过大，会跃过最小值点，无法使损失函数降到最低，永远无法找到最小值点。如下图：

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一种流行而简单的想法是 每隔一段时间根据一些因素减小学习速率

• 开始时我们远离目标点，所以可以前进得快一些，使用较大的学习速率
• 在经历几次迭代之后，离目标点比较接近时减小学习速率
• 举例：可以假设学习速率是依赖迭代次数的，在第t次更新参数时（其中η是常数）

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另外，需要注意的是不同的参数应该是设置不一样的学习速率。这是因为损失函数在不同的参数方向上陡峭程度不太一样。
最简单的一种方法是Adagrad（还有很多其他的方法）

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化简后：

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那么为什么可以用这样子的方法呢？
回顾一下，选择学习速率需要考虑以下几个因素：

• 越靠近目标点，学习速率越小 ----方法是η除以t+1的平方根，上图是红色部分
• 不同参数使用不同的学习速率 --所有之前关于参数w的微分的均方差就是达到这个目的，上图蓝色部分

在一个参数的时候，微分越大意味着距离目标点越远；但是当有两个参数时，虽然L关于w1的微分值大于L关于w2的微分值，但是距离目标点的远近却很难说，因为很可能L在w1方向上下降特别快，虽然微分值大了些，可能反而更加接近目标点。
反映损失函数L关于参数变化的快慢通常使用二次微分，但是有时候会遇到当参数很多的时候计算一次微分就很慢，再计算二次就花费太多的时间，所以Adagrad在不增加计算量的情况下，使用了一次微分来估算二次微分。

3.2 随机梯度下降 SGD

与一般梯度下降的不同点在于，损失函数只是针对一个样本的，每次针对一个样本来更新参数。SGD计算速度更快，虽然不是每次迭代都向着全局最优方向，但是大的总体方向是向着全局最优方向的。

3.3 Feature Scaling

对于不同的特征，如果数据量纲不同，那么x1和x2的变化对于y的影响不一样大，从而对于LOSS函数的影响也不一样大，所以在使用Gradient Descent时不同参数一定要使用不同的速率，除非用Adagrad不然比较难算。我们可以看到用一般梯度下降，更新参数的时候方向是顺着等高线方向，而不是朝着最低点方向，所以进行feature scaling后，参数更新比较有效率。

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Feature Scaling 的方法
有很多feature scaling方法，常用的是标准化，对所有data每一维进行标准化

3.4 Gradient Descent Theory

梯度下降方法是基于泰勒展开的，所以要使得每次迭代后损失函数变小，必须保证学习速率η无限小。

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