负数在计算机中的储存方式

最近在学习位运算符时，发现负数在做带符号位的右移运算符时，结果与想象中的大不一样，经过查阅资料之后发现，原来这一切源自负数在计算机中的储存方式

负数在计算机中是以补码的形式储存的

注意： 本文为了简化运算，二进制数都是用一个字节——8个二进制位说明

1 一些概念

在进行问题探究之前，先了解一些概念

1.1 原码

原码就是符号位加上真值的绝对值，即8位二进制数的第一位是符号位，其余位表示值

+1(原) = 0000 0001

-1(原) = 1000 0001

第一位表示正负号，所以8位二进制数的取值范围是

[1111 1111 , 0111 1111]

即[-127,127]

1.2 反码

正负数的反码规则不一样

正数的反码就是其本身

负数的反码就是，在原码的基础上，符号位不变，其余位取反

+1 = [0000 0001]原 = [0000 0001]反

-1 = [1000 0001]原 = [1111 1110]反

1.3 补码

补码的计算规则为

正数的补码就是其本身

负数的补码就是在其反码的基础上+1

+1 = [0000 0001]原 = [0000 0001]反 = [0000 0001]补

-1 = [1000 0001]原 = [1111 1110]反 = [1111 1111]补

2 为何这么复杂

从上面我们可以知道，负数的原码、反码、补码是很不一样的，这样设计的好处是方便计算机做减法

首先，因为人可以轻松知道第一位是符号位，在计算的时候我们会根据符号位，选择对真值区域的加减。但是要让计算机辨别"符号位"显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂！于是就想出了将符号位也参与运算的方法。我们知道，根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数，即：1 - 1 = 1 + (-1) = 0 ，所以机器可以只有加法而没有减法，这样计算机运算的设计就更简单了

于是开始探索将符号位参与运算，并且只保留加法的方法

以1-1=0为例

原码

1 - 1 = 1 + (-1) =

   [0000 0001]原

+ [1000 0001]原

---------------------

= [1000 0010]原

= -2

如果用原码表示，让符号位也参与计算，显然对于减法来说，结果是不正确的。这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数

反码

1 - 1 = 1 + (-1) =

   [0000 0001]原

+ [1000 0001]原 =

------------------------

   [0000 0001]反

+ [1111 1110]反

------------------------

= [1111 1111]反

------------------------

= [1000 0000]原

= -0

发现用反码计算减法，结果的真值部分是正确的。而唯一的问题其实就出现在"0"这个特殊的数值上，虽然人们理解上+0和-0是一样的，但是0带符号是没有任何意义的。而且会有[0000 0000]原和[1000 0000]原两个编码表示0

补码

1-1 = 1 + (-1) =

      [0000 0001]原

   + [1000 0001]原 =

------------------------

      [0000 0001]补

   + [1111 1111]补

------------------------

= [1 0000 0000]补(出现了一个9位二进制数，所以去除一位，变成)

------------------------

   = [0000 0000]补

------------------------

   = [0000 0000]原

   = 0

这样0用[0000 0000]表示,而以前出现问题的-0则不存在了。而且可以用[1000 0000]表示-128

再看看-1-127

(-1) + (-127) =

      [1000 0001]原

   + [1111 1111]原 =

------------------------

      [1111 1111]补

   + [1000 0001]补

------------------------

= [1 1000 0000]补(出现了一个9位二进制数，所以去除一位，变成)

   = [1000 0000]补

-1-127的结果应该是-128，在用补码运算的结果中，[1000 0000]补 就是-128。但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128，所以-128并没有原码和反码表示。(对-128的补码表示[1000 0000]补算出来的原码是[0000 0000]原，这是不正确的)

使用补码，不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题，而且还能够多表示一个最低数。这就是为什么8位二进制，使用原码或反码表示的范围为[-127, +127]，而使用补码表示的范围为[-128, 127]

从上述说明中，我们可以得知，通过使用补码，可以将减法变成加法，更符合计算机的运行规则

3 补码的本质

接下来看看负数补码的本质

以-8为例，-8其实就是0-8

  [0000 0000]

- [0000 1000]

------------------

因为被减数([0000 0000])小于减数([0000 1000])，所以需要向上接一位,被减数就变成了[1 0000 0000]，上面的式子也就成了

[1 0000 0000]

 - [0000 1000]

------------------

   [1111 1000]

其实上面的[1 0000 0000] = [1111 1111] + [0000 0001]，所以上面的式子可以分解成

   [1111 1111]

-  [0000 1000]

------------------

   [1111 0111]

+ [0000 0001]

------------------

   [1111 1000]

补码的两个步骤就是这么来的