计算机模拟

1.数值模拟MATLAB程序设计

1.1微分方程组模拟、

在微分方程数学模型中，往往需要用到数值模拟。一方面是因为考察模型未来一段时间可能会出现的衰减、震荡或混沌等状况；另一方面，有些微分方程组难以求出解析解，只能求出数值解。

程序代码:

clc;
clear all;
clf;
close all;
% 求解微分方程组
[tt,y] = ode45('lbwfun',0:10:2020,[95.9 0.83 0.003 0.0001 0.0 0.0]);
yx = y(end-10:end,1)
yp = y(end-10:end,2)
yh = y(end-10:end,3)
yt = y(end-10:end,4)
yo = y(end-10:end,5)
ye = y(end-10:end,6)

function ydot = lbwfun(t,y)
%UNTITLED3 此处显示有关此函数的摘要
%   此处显示详细说明
ydot = zeros(6,1);
ydot(1) = 121.793*pi*cos(2*pi*t);
ydot(2) = y(1)-4.03*y(2);
ydot(3) = 0.49*y(2)-17.87*y(3);
ydot(4) =  4.85*y(3)-4.65*y(4);
ydot(5) =  2.55*y(2)+6.12*y(3)+1.95*y(4);
ydot(6) =   1.10*y(2) +6.90*y(3)+2.70*y(4);
end

这里不知道为什么如果把ydot写成矩阵的形式，程序无法执行。就只有分开写了

程序结果：

1.2服从概率分布的随机模拟（排队论）

clear;clc;
% 排队论
% 顾客到达收银台的时间间隔服从平均时间为10s的负指数分布
% 每个顾客的服务时间服从均值为6.5s、标准差为1.2s的正态分布
 p = zeros(10,100);
 avert = zeros(10,100);
 num = 100;
 % 分别在顾客人数为10,100,500等情况是，模拟系统工作强度和顾客平均逗留时间
 nn = [10 100 500 1000 5000 10000 20000 50000 100000 500000];
 for d = 1:length(nn)
     for s =1:num
         n = nn(d);
         dt = exprnd(10,1,n);   %到达时间间隔.
         st = normrnd(6.5,1.2,1,n); %服务时间间隔
         a = zeros(1,n);        %每个顾客到达时间
         b = zeros(1,n);        %开始服务时间
         c = zeros(1,n);        %结束服务时间
         a(1) = 0;
         for i = 2:n
             a(i) = a(i-1) + dt(i-1);
         end
         b(1) = 0;
         c(1) = st(1);
         for i = 2:n
             if a(i) > c(i-1)
                 b(i) = a(i);
             else
                 b(i) = c(i-1);
             end
             c(i) = b(i) + st(i);
         end
        % 递推完成，进行统计
        p(d,s) = sum(st)/c(end);
        avert(d,s) = sum(c-a)/n;
     end
 end
 P = zeros(length(nn),1);
 A = P;
 for i = 1:length(P)
     P(i) = sum(p(i,:))/num;
     A(i) = sum(avert(i,:))/num;
 end
 figure(1);
 bar(P);
 legend('服务强度');
 figure(2);
 bar(A);
 legend('平均逗留时间');

这里假设顾客不会自动寻优，即不会自动转向空闲的服务台

1.3 蒙特卡洛模拟

1. 蒙特卡洛计算步骤

生成随机数
利用约束条件检验随机数是否合乎要求
求解

2. 求解π

clear;clc;close all;
tic
x = 0:0.01:1;
y = sqrt(1-x.^2);
plot(x,y);
axis square;
grid on;
box on;
format long;
n = 10000000;
count = 0;
for i = 1:n.
   point = rand(1,2);
   if point(1)^2 + point(2)^2 <=1
       count = count+1;
   end
end
disp('pi的估计值是:');
count/n*4
toc

3.求解多约束非线性规划

% 利用蒙特卡洛方法求解非线性规划问题
clear;clc;close all;
%产生足够的随机数
N = 10000;
x2 = unifrnd(10,20,N,1);
x3 = unifrnd(-5,16,N,1);
vmax = -inf;
x = zeros(3,1);
for i = 1:N
    for j = 1:N
        if x2(i)+2*x3(j) >= 10 &&...
                3*x2(i)+2*x3(j) <=62;
            v = (x2(i)+10)*x2(i)*x3(j);
            if v>vmax
                vmax = v;
                x(1) = x2(i)+10;
                x(2) = x2(i);
                x(3) = x3(j);
            end
        end
    end
end
x
vmax

2. 动态仿真

1.音频处理

sound 将向量以声音形式播放(幅度不能超过[-1,1]
soundsc 将向量整合到[-1,1]区间然后播放
wavplay 播放.wave格式的音频
wavrecord 利用Windows音频输入设备进行录音
wavread 读取.wave格式的音频

2. 动画实现

1.旋转动画
使用rotate命令和drawnow命令
例子:

x = 3*pi*(-1:0.05:1);
y = x;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
R = sqrt(X.^2+Y.^2)+eps;
Z = sin(R)./R;
figure(1);
h = surf(X,Y,Z);
axis([-15 15 -15 15 -0.3 1]);
for i= 1:0.0001:2*pi
    rotate(h,[0,0,1],i);
    drawnow;
    pause(0.01);
end

彗星轨迹图

慧长p*length(y)的二维彗星轨迹：comet(x,y,p)，其中，p的默认值为0.1
慧长p*length(y)的三围彗星轨迹:comet3(x,y,z,p)，其中，p的默认值为0.1

3.电影动画

调用函数getframe生成每一个帧。
调用函数moive按照指定的速度和次数运行该动画

4.实时动画

这是matlab最重要的一种动画。设计实时动画，核心函数指令是erasemode和drawnow。

erasemode指定有4种属性选择：

normal：重绘整个县市区，它产生的图形准确但是速度慢
none：不做任何擦除，直接在原图上进行绘画
xor：擦除旧对象的点并绘制新对象的点
background：把就对象的颜色变为背景色

指令drawnow使matlab暂停目前的任务而去撒互信屏幕，若不使用指令drawnow，则要等到任务序列执行完毕以后才会刷新屏幕。

这里给出一个小球沿着螺旋线上升的例子：

t = -100:0.1:100;
x = sin(t);
y = cos(t);
z = t;
h = plot3(x,y,z);
% 绘制小球的初始位置
ball = line(x(1),y(1),z(1),'color','red','marker','.','markersize',60);
for i = 1:length(t)
    set(ball,'xdata',x(i),'ydata',y(i),'zdata',z(i));
    drawnow;
end