你需要像数学家一样思考

只有那些懂得自然是用什么语言书写的人，才能读懂自然这本巨著，而这种语言就是数学。（伽利略《试金者》，1623）

最近在 Coursera 学习斯坦福大学制作的在线课程《数学思维导论》（Introduction to Mathematical Thinking），同时在阅读该课程的授课老师基思-德夫林（Keith Devlin）写的同名教科书。以下是我在读完绪论部分和第1章后写下的笔记。

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什么是数学？Devlin 教授在第一讲的开头提出了这个问题。

你可能会觉得这是个奇怪的问题，因为你已经在学校里学习数学许多年了。然而，学校花费了大量时间向学生传授用于解题的公式和套路，却几乎没有告诉学生这门学科到底是什么。

数学的革命

我们在中学里学到的数学大都历史久远，从古埃及、古巴比伦时期的几何和三角学到古希腊的形式逻辑，最晚也不过是17世纪的微积分和概率论。但是，今天在科学与工程中用到的数学，大都来自最近两百年。在这两百年间，数学发展迅猛，这使得那些对数学的印象局限在中学数学的人无法理解数学在当今世界的影响。

数学的发展并不只是知识的扩张，还伴随着抽象度和复杂度的增加，这在19世纪的数学界引发了一场革命。自古以来，一直到19世纪中期，数学被认为是关于计算的学科。现在的中学数学大体上仍然延续了这种传统，把主要关注点放在套用公式、计算答案上。然而，进入19世纪，随着数学家们处理的问题变得越来越复杂，他们发现一些数学方法会推导出反直觉的结论（例如巴拿赫－塔斯基悖论）。

如果我们选择相信数学而不是相信直觉，那我们必须保证我们所用的数学方法是正确的。为了检验这门学科自身，在19世纪中期，数学家们采用了一种新的数学理念，把关注点从计算转移到了系统化阐述和理解抽象概念上。

这是从强调做到强调理解的转移。人们不再认为数学对象主要由公式给出，而是将它们看成概念化性质的载体。证明不再是依据规则而进行的项的转化，而是始于概念的逻辑推理过程。

在数学界，这是一场影响深远的革命。对于今天的数学家而言，数学不过就是那场革命的产物。在专业数学圈之外，最先受到影响的是大学里的数学课程。现如今，19世纪后的数学概念已成为大学数学课程在教完微积分之后的主要内容。但是这种“新数学”对中学数学并没有产生太大影响。

为什么你需要数学思维

如果你是个大学新生，你很可能会发现从中学数学到大学数学的过渡是很困难的。在中学，重点主要是掌握解决不同类型问题的套路，而在大学，重点变成了学习用一种不同的方式思考——像数学家一样思考。如同19世纪的那场革命，这是从强调做到强调理解的转移。

大学数学的目标是培养出能让你解决新颖问题的思维技能，而这些问题往往没有标准方法可以套用。在中学数学中，成功的关键是“在盒子内思考”。与之相反，想要在大学数学中取得成功，你需要“跳出盒子思考”。巧合的是，Devlin 教授在几十年的工作中发现，随着当今社会对分析思维能力的需求与日剧增，在大学数学获得成功所需要的思维模式，正是政府和商业领导人最希望在雇员身上看到的。

毋庸置疑，许多工作需要数学技能。拥有数学技能的人可分为两类：一类人对给定的数学问题能够找到答案；另一类人拿到一个新问题之后，能够用数学的方法抽象出问题的关键特征，精确地分析这个问题。在过去，对第一类雇员的的需求很大；但在当今世界中，激烈的商业竞争、创新对企业生存的重要性，使得需求转向了第二类人——拥有数学思维、能够跳出盒子思考的人。Devlin 教授给第二类人起了一个名字：创新的数学思考者（innovative mathematical thinker）。

（创新的数学思考者）首先需要对数学有一个很好的概念性的理解，知道它的能力、范围、何时及如何被应用，以及它的局限。他们也需要扎实地掌握一些基本的数学技能，但并不需要特别高超。更为重要的一条是，他们能够在团队工作（通常是跨学科的团队）中发挥作用，能用新的方式看待事物、能快速学习和迅速掌握可能需要的新技能，并擅长将旧方法运用于新形势中。

无论你是打算学习数学或数学相关专业的大学新生，还是出于某些原因想要培养分析思维能力的人，学会像数学家一样思考都会让你受益匪浅。19世纪发生于专业数学圈的从做到理解的关注点转移，在一百多年后的今天，不仅仅对数学家很重要，而是对每个人都很重要。

如何习得数学思维

Devlin 教授认为，要想成功完成从中学数学到大学数学的过渡，有两个必须做到的关键步骤。

停止寻找套路

第一个关键步骤是，学着不再寻找可使用的公式或者可遵循的套路。找一个模板（例如教科书中的或者 YouTube 视频中演示的一个范例），然后仅仅替换其中的数字，这样的办法往往解决不了新问题。（你仍然可以用这种方式来处理大学数学的许多方面和现实生活中的应用，它们仍然有效。因此，你在中学的所有努力都不会被浪费。然而对于许多需要用新的“数学思维”思考的大学数学课程来说，这就不够了。）

思考这个问题

如果你不能通过寻找可效仿的模板、可套用的公式或者可应用的算法来解决问题，你会怎么做？答案是，思考这个问题，这就是第二个关键步骤。不是思考这个问题的形式（这是中学时所教的，在那时也很管用），而是思考它实际上说的是什么。尽管这听起来应该很容易，但我们中的大多数人一开始都会觉得这非常难和另人沮丧。

打个比方，如果说中学数学是学习如何驾驶一辆汽车，那么大学数学则是学习汽车的运作原理，以及如何维修和保养它，甚至学习如何设计、建造你自己的汽车——如果你学得足够深入。

还有一件事……

你现在就可以免费注册这门课程：
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此外，Devlin 教授特别强调了一点：与他人共同学习。

• 遇到困难时，与你的同学和授课老师讨论。我们之中能够独立完成这次关键性转变的人寥寥无几。
  ……
• 如果可以的话，与其他人共同学习。中学时，单独学习很普遍，因为中学时的重点在做。然而，掌握过渡课程内容需要思考，并且与其他人一起讨论学习比单独学习要好得多。让你的同学分析和点评你在证明中所做出的尝试，能够大大帮助你自己的学习与理解。

为此，我和几位朋友建立了一个学习小组。扫描下方二维码即可加入。

《数学思维导论》学习小组