涨知识：三角形的五千颗心

经过初高中学习平面几何的洗礼，肯定要知道三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心，也就是俗称的三角形的五心。

三角形只有五心吗？其实这五心不过是冰山一角。

三角形的心（Triangle center）指平面上一系列的点，在一定程度上它们类似正方形或者圆的中心，都是三角形的中心。这系列的点有多少个呢？目前是5389个，虽然很多但也不是什么点都可以。

如果要讨论三角形的心，就要从2000年前古希腊的一个夜晚说起。那里的数学家们抬头看星星累了时，低头画了个三角形，一不小心就发现了一些经典的三角形的心，例如开头提到的五心。当然他们并没有定义三角形的心到底是什么，也没有规定什么样的点可以被称作三角形的心。在他们之后，一些三角形的心又陆续被发现，例如费马点、第一等角点、格高尼点、 威毕特点、Gergonne point、Feuerbach point等等。到了20世纪80年代，人们对三角几何的兴趣复燃，注意到这些点有一些相同的性质。在此基础上，对三角形的心做了明确的定义。2012年10月，一位叫做Clark Kimberling的数学家发布了一个由他编制的在线的三角形的心在线百科全书，上面收录了5389个点。给这些点一一起名字也挺费事，所以他们被编号为X（1）、X（2）……

三角形的五心定义和性质：

1.重心

三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。

重心的性质：

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。

5. 以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。

2.外心

三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心

外心的性质：

1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。

5、外心到三顶点的距离相等

3.垂心

三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质：

1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））

3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。

4.内心

三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。

内心的性质：

1、三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。

2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和与斜边的差的二分之一。

3、P为ΔABC所在空间中任意一点，点0是ΔABC内心的充要条件是：向量P0=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).

4、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC

5、 欧拉定理  ⊿ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI^2=R^2-2Rr．

6、 内角平分线分三边长度关系  △ABC中，0为内心，∠A 、∠B、 ∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，　则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.

7、内心到三角形三边距离相等。

5.旁心

三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心。

旁心的性质：

1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。

2、每个三角形都有三个旁心。

3、旁心到三边的距离相等。

如图，点M就是△ABC的一个旁心。三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。

三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。

 那么三角形的这5389颗心该如何定义呢？什么样的点才是三角形的心？

        观察五心可以发现，他们有一个共同特点，就是在三角形做几何变换时（相似变换、旋转、反射）的不动点（相对于三个顶点而言）。实际上这也就正是三角形的心要满足的条件。当然它的正式定义是用函数来定义的：

设一个有三个变量a、b、c的实值函数f 满足一下条件：

1. 对于某些常数n有： f(ta,tb,tc) = t^n f(a,b,c) （t>0）

2. 双向对称性： f(a,b,c) = f(a,c,b)

满足上述条件的非零函数f就被称为三角形中心函数，如果f中的a、b、c满足构成一个三角形的条件，那么具有如下 三重线性坐标（trilinear coordinates，即点到三角形三边的距离） 的点就被称为三角形的心：

f(a,b,c) : f(b,c,a) : f(c,a,b)