算法导论学习笔记（一）：分治策略

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更新不及时，有空慢慢写吧，原文是写在Bear上粘贴来的，可能格式有点乱。
具体的工程在我的github上。

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所谓的分治策略就是将问题分解成几个相同的小问题，解决小问题再递归回大问题。步骤可以分为三步：

• 分解（Divide）:将原问题划分为若干个子问题，保证子问题和原问题的一致，只是规模更小。
• 解决（Conquer）:递归地求解出子问题，若子问题的规模足够小，则直接求解。
• 合并（Combine）:将子问题的解合并成原问题的解。

最大子数组问题

• 问题描述：给定一个数组，求其中子数组的最大和，采用分治策略进行解决。
• 问题分析：我们把此数组看作A[low,high]，我们将要用分治法求出其最大的子数组。使用分治法意味着我们要将数组划分为两个规模尽量相等的子数组，找到数组的中央位置，比如mid，然后考虑求解两个子数组A[low,mid]和A[mid+1,high]。那么子数组A[i,j]所有的情况都逃脱不了一下三种：
  1. 完全位于子数组A[low,mid]中,low<=i<=j<=mid
  2. 完全位于子数组A[mid+1,high]中,mid 3. 跨越了中点，因此low<=i<=mid 那么我们可以递归的求解A[low,mid]和A[mid+1,high]的最大子数组，因为这两个子问题仍是最大数组问题，只是规模更小。因此剩下的工作就是寻找跨越中点的最大子数组，然后在三者中选取最大者。
• 参考资料来自分治算法-最大子数组问题，作者：爱国者002
• java代码实现：

public int[] getMaxSubArray(int[] num, int low, int high) {
        if (low == high) return num;
        int mid = (low + high) / 2;
        int[] left = new int[3];
        int[] right = new int[3];
        int[] cross = new int[3];
        left = getMaxSubArray(num, low, mid);
        right = getMaxSubArray(num, mid + 1, high);
        cross = getMaxCrossMid(num, low, high, mid);
        if (left[2] >= right[2] && left[2] >= cross[2]) {
            return left;
        } else if (right[2] >= left[2] && right[2] >= cross[2]) {
            return right;
        } else {
            return cross;
        }
    }

    private int[] getMaxCrossMid(int[] num, int low, int high, int mid) {
        int leftSum = Integer.MIN_VALUE;
        int sum = 0; // 保存和的
        int left = 0; // 记录左边位置
        for (int i = mid; i >= low; i--) {
            sum = sum + num[i];
            if (sum > leftSum) { // 证明所加数字为正数，那么符合条件（因为最大子数组内正数越多指定越大）
                leftSum = sum;
                left = i;
            }
        }
        int rightSum = Integer.MIN_VALUE;
        int sum2 = 0;
        int right = 0; // 记录右边位置
        for (int i = mid + 1; i <= high; i++) {
            sum2 = sum2 + num[i];
            if (sum2 > rightSum) {
                rightSum = sum2;
                right = i;
            }
        }
        int[] result = new int[3];
        result[0] = left;
        result[1] = right;
        result[2] = leftSum + rightSum;
        return result;
    }