《中小学概率统计教学研究》摘要1
一、第一章“概率统计：研究不确定性的学问”
1.什么是数理统计
统计学家陈希孺先生在《数理统计学前沿》讲座中称:“数理统计学是研究收集数据、分析数据并据以对所研究的题作出一定结论的科学和艺术。数理统计学所考察的数据都带有随机性(偶然性)的误差。这给根据这种数据所作的结论带来了一种不确定性,其量化要借助于概论的念和方法,”。因为数据来自各行各业,所以,统计学家Rao认为:“统计学没有任何固有的对象,是一门独特的学问。统计学因解决其他领域内的问题面存在并兴旺发达”。工具性、广泛应用性是统计学的特征,它向各个域提供一般性的认识方法和思维模式.
2.统计中的随机性与规律性
随机性和规律性是随机现象对立统一的两面。从历史发展来看,人们更容易认识随机性,但对规律性的承认与研究则经历了漫长的岁月。对于学习概率统计的学生来说,从不相信、怀疑到相信它的价值又何尝不得不经历这样的蜕变过程。
3. 描述统计和推断统计
统计学按方法体系通常可以被划分为描述统计学和推断统计学。描述统计研究如何取得反映客观现象的数据,并通过图表形式对所收集的数据进行表示、加工和处理,进而通过综合,概括与分析得出反映客观现象的规律性数量特征。其内容包括:统计数据的收集、数据的表示、数据的加工处理、数据分布特征的概括与分析等。推断统计学则研究如何根据样本数据去推断总体数量特征,它是在对样本数据进行描述的基础上,对统计总体的未知数量特征作出以概率形式表述的推断。
4.什么是随机现象
在现实世界中,有一些现象在相同的条件下,重复同样的试验,该现象却有时发生,有时不发生,这些现象就其个别来看,发生与否是没有规则、不可预测的,但是通过大量的试验和观察以后,就其整体来看却表现出一种非偶然的规律性,这些现象被称为“随机现象”。概率论研究的便是随机现象所服从的规律。
5. 概率论与统计学的区别
概率统计是概率论和统计学的合称,虽然二者都研究不确定性、随机性,但从学科本身研究基础研究方法来看,它们还是有较大区别的。
概率论的研究基础是定义和假设，有公理体系,使用逻辑演绎或扥定理,这些定义、公理、定理由和分布都是确定的,这些方面与传统数学很相似;
统计学的研究对象则是数据，来自于从现实世界实际收集到的数据,统计是从数据中通过归纳取得数学模型的科学,它从来不证明什么,不绝对地说“是”或者“不是”,它的“是”常常含有概率意义,在给出统计推断的同时常要给出下此论断会犯错误的概率。
6.古典统计学与现代统计学
如果说古典统计学的功能主要是描述事物的局部和现状的话,那么,现现代统计学学的功能则主要是借助概率工具推断事物的总体和未来,从古典统计学到现代统计学实现的是质的飞跃,飞跃的主要标志之一就是统计推断,是概率与统计的结合。
7.数学教师教学概率统计有何优势？
首先,概率本来就是数学的一个研究分支,概率论与数理统计是数学系学的必修课,他们在这方面的修养理应好一些；
其次,如上所述,以数学专业为背景的数学教师很容易理解概率统计研究中所需的说理以及微积分运算等操作；
再次,近十年来,大学数学系课程内容正在逐步加强其应用性,函数模型、控制论,模糊数学,数值运算、计算机数值模拟等数学方法的教学受到重现,它们都是统计分析重要的研究工具。
最后,中小学概率统计教学中也会涉及一些数学知识,如概率概念与“部分与总体的比”有关，理论概率的计算与排列组合等计数知识有关，几何概率的计算常与积计算有关，认识统计图与直角坐标系知识有关等等,由数学教师来教,可以更好地加强知识之间的联系。
8.概率统计的学科特点
概率统计的以下特点尤其值得我们在教学中注意,以区别于其他数学内容的教学:
(1)数据是含有背景并带有随机性的数字；
(2)随机性和规律性是随机现象立统一的两面;
(3)深入研究对象进行观察，基于数据得到回答。
9.变异
“变异( vanance)”这个术语我们可能不是很熟悉,但是我们对于“样本的信息与总体的信息存在着一定的差异”，“每次抽样所获得的信息都不能保证是完全一样的,有一点小的变化很正常”这些说法一定不会觉得陌生,统计上把总体各单位由于随机因素引起的某一标志表现的差异称为变异,它是由抽样的随机性所决定的, David moore的一句话说明了认识变异的重要,他说:“变异是统计思想的核心要素,在过程中无处不在。”
在概率和统计情境中,变异主要体现在两个方面:一个是理论概率和实际频率之间,总体和样本之间存在差异;另一个是重复试验所得结果之间,样本和样本之间存在差异。
10.说理方式
现实世界中,除了逻辑演绎推理,允许使用的说理方式还有很多，统计推断就是一种。统计推断思维方式和数学思维方式有所不同,数学思维更强调逻辑演绎,要求证明过程脱离于任何具体的对象,是数学中的一种证明。统计推断则不同,它是一种归纳的思维方式。
二、第二章“概率统计教育的国际大背景”
1.什么是统计素养?
Batanero和 Borovcnik(2016)提出:“一个有统计素养的人必须对统计有基本的理解,这包括知道统计术语和符号的含义、看得懂统计图和其他数据表达形式、明白统计的基本逻辑、能理解目常生活中见到的统计结果并作出评判。统计素养也能帮助我们对那些不符合统计思考规范的方法提出质疑,了解方法的同时也看到它们的局限性,能向专家提出重要问题并听懂他们的回答。”
统计素养的培养可以分为三个层次:第一是理解基本术语,第二是在社会问题背景中理解术语,第三是能够对没有恰当说理的统计论断提出质疑。这个观点其实反映的是书本知识、实践背景下使用书本知识、对不正确的使用能够提出质疑这样由低到高的三个层次。
上述两种论述提示我们,统计素养应该包含基础知识和基本技能、在新的背景下运用这些基本知识和基本技能解决问题的能力以及质疑的意识和技能。
具有良好统计素养的人对归纳或统计推断得出的结论不会轻信,要看它是怎么得到的,实验的设计是否科学,处理数据是否使用了正确统计方法并附有结果的误差界限,只有严格符合这些规范,得出的结论才可信。统计学家陈希孺认为：“统计方法是一种观察世界事物的方法,它使人有一种全局的、均衡的观点,避免拘执一端的片面性”。
2.概率统计中的核心内容有哪些？
概率统计中的核心内容涉及数据以及数的收集、表示、分析和解释过程,也涵盖了统计与概率的联系,要求理解统计这种说理方法。
这也是当前包括我国在内的很多国家中小学概率统计教育的主要内容:会整理数据,会恰当地选择图来表示数据,从数据集尤其是统计图表中读出信息,会通过画图、求平均数、方差等从整体上把握数据集信息并描述数据的分布。能通过调查、试验等方法收集数据解决一些统计问题,体会用样本估计总体和运用统计模型解决一些实际问题的思想方法,会判断两个变量之间的相关性并利用线性回归进行预测.了解常见的分布,如二项分布和正态分布等；能够认识随机现象的随机性与规律性,会用模拟方法估计概率或用古典概型等计算概率。
3.新课程为什么在小学低年级就要开展统计的启蒙教育?
不是因为有很多的统计知识要学习,也不是因为统计知识很简单,而是因为要让孩子们从小就知道数据在描述、分析、预测以及解决一些日常生活现象与问题中有其独特价值,统计思维不同于确定性思维,每个人都需要它,如果我们坐等学生习惯了确定性思维之后再开始,到那时,遇见估计、不确定性,学生就会觉得不习惯、不舒服,还常会说错话,所以不如早些开始,与数学思维一起发展。
今日记语：
每天给自己一个希望，每天给自己一个希望，试着不为明天而烦恼，不为昨天而叹息，只为今天更美好。