SRM 624 D2L3: GameOfSegments, 博弈论，Sprague–Grundy theorem，Nimber

题目：http://community.topcoder.com/stat?c=problem_statement&pm=13204&rd=15857

这道题目须要用到博弈论中的经典理论，Sprague–Grundy theorem，以下将相关理论做一个总结：

Impartial Game：公平游戏，两方除了谁先開始游戏外，其余都同样。

Nim：一类经典的Impartial Game，非常多游戏都能够等价于Nim。

Nimber（Grundy numbers）：能够理解为标识一个游戏状态的数。在游戏进行过程种，每一个状态都应一个唯一的Nimber。

Sprague-Grundy定理：对一个 Impartial Game 的状态，其等效游戏的 Nimber 数，就等于全部其后继状态 Nimber 数的 Mex 函数值。

Mex：对一个集合S，若G为S的补集，则 Mex{S} = min {G}。

依据 Sprague-Grundy定理，要求当前游戏状态的Nimber数，则须要求出其全部后继状态的Nimbers，然后对这些Nimbers取Mex值。并且当存在多个“子Impartial Game”同一时候进行时，这一定理尤事实上用，对每一个“子游戏”状态的Nimber数进行异或操作，就是该状态的Nimber数。

代码例如以下：

#include <algorithm>
#include <functional>
#include <numeric>
#include <utility>
#include <iostream>
#include <sstream>
#include <iomanip>

#include <bitset>
#include <string>
#include <vector>
#include <stack>
#include <deque>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <ctime>
#include <climits>
using namespace std;

#define CHECKTIME() printf("%.2lf\n", (double)clock() / CLOCKS_PER_SEC)
typedef pair<int, int> pii;
typedef long long llong;
typedef pair<llong, llong> pll;
#define mkp make_pair
#define FOREACH(it, X) for(__typeof((X).begin()) it = (X).begin(); it != (X).end(); ++it)

/*************** Program Begin **********************/

class GameOfSegments {
public:
    int winner(int N) {
	    int Nimbers[1001];
	    Nimbers[0] = Nimbers[1] = 0;
	    for (int i = 2; i <= N; i++) {
		    set <int> options;
		    for (int j = 0; j <= i - 2; j++) {
		    	options.insert(Nimbers[j] ^ Nimbers[i - j - 2]);
		    }
		    int r = 0;
		    while (options.count(r)) {
		    	++r;
		    }
		    Nimbers[i] = r;
	    }
	    return (Nimbers[N] > 0 ? 1 : 2);
    }

};

/************** Program End ************************/

參考：

http://www.cnblogs.com/fishball/archive/2013/01/19/2866311.html

http://www.cnblogs.com/hsqdboke/archive/2012/04/20/2459796.html

http://www.cnblogs.com/hsqdboke/archive/2012/04/21/2461034.html