基础-8：寻找强连通子图

1 概述

所谓强连通子图（一般是有向图），就是在图中存在某个子图SG，对于SG中的任意两个节点u,v，存在u -> ... -> v的路径，也存在v-> ... -> u的路径。强连通子图应用十分广泛，如社交网络中的社区发现（如亚文化人群是一个相对闭环）、洗钱环节的账户闭环等，寻找强连通子图是图计算的一个重要应用。

2 算法

发现强连通子图的著名算法包括Kosaraju算法、Tarjan算法、Gabow算法等，感兴趣的童鞋可以深入阅读。本文对寻找强连通子图的思路进行分析。

下面以一个例子分析寻找强连通子图的过程，如下图1所示：

图1:强连通子图示例

显然，(a,b,c,d)和(f,g,h,i)是两个强连通子图，如何找到这两个连通子图？肯定需要遍历图才可能发现。先看强连通子图的规律，对于(a,b,c,d)，不妨取第一个访问的节点为a，当采用深度遍历方法时，当访问到c时，发现a是c的邻接节点，即边(c, a)是一条回边，继续深度遍历到d节点时，发现a是d的邻接节点，即(d, a)是一条回边，回边意味图中存在环，即存在强连通子图。

找到了强连通子图的规律，剩下的就是如何实现了。从上一段的分析看出，通过深度遍历的时候，可以发现回边，从而发现强连通子图。（深度遍历过程请详见前面的课程）深度遍历在第一次发现节点v时，将其涂灰，当深度遍历完v的所有邻接节点时，将v涂黑。这里的关键是在对v进行深度遍历时，如果发现v的子孙节点u，存在(u, v)这样的边，则存在回路；而且在深度遍历时，当一个节点遍历结束时，会回溯至其上层父节点root，继续深度遍历root的其它子节点。

这里，如果将深度遍历进行适度改造，则容易发现其中的强连通子图。基本思路：在深度遍历v时，同时建立一个栈，当遍历的过程中，根据邻接边，对相应的邻接节点依照遍历发现的顺序入栈，可以发现规律。下面以(a,b,c,d,f)这个顺序以此入栈，得到的结果如下图2所示：

图2: 栈示意图

图2中a'和a''示意存在回边。当深度遍历时，将所有的邻接节点都加入到栈中，如发现某个节点已被涂灰，则说明存在回边，将其与原节点区分，如图2中的a'和a''。当节点遍历完毕，回溯时，作出栈操作，如果出栈时，出现了这样的序列（注：a''和a指向的都是同一个节点），则其中必然存在强连通子图，并且最大的序列包含的元素才是寻找的强连通子图，如图2中（a,b,c,d）和(a, b, c)均是连通子图，但是（a,b,c,d）才是要求的强连通子图。

从上面的分析可以看出，寻找强连通子图就是深度遍历图过程中的入栈出栈，并且在出栈序列中寻找首位相连的序列。

上面的分析与算法导论书中讲解的求强连通子图，其本质是一样的，算法导论中利用的是转置图的再次遍历，与本文中借助栈实际上是一致的。个人认为，本文中提到的方法更容易理解。

具体的算法实现，作一个简单的概述：在深度遍历时要申请一个栈，当一个节点访问结束时，出栈并记录出栈的历史序列，如果存在首位相同的序列（可以借助hash记录），则记录此序列。遍历完毕后，如果存在强连通子图，必然会有一系列的强连通子图序列，从中寻找最大子序列，即为返回结果。

3 小结

虽然本文分析了寻找强连通子图的方法，但是，前文提及的三种算法：Kosaraju算法、Tarjan算法、Gabow算法也十分重要，在具体实践中，直接调用这些成熟的算法更为有效。