DP（动态规划）学习小结

1.什么样的问题适合动态规划？
基本上有两个特征：（a）是一个最优化问题（optimal）；（b）有个最优子结构（substructure），状态转移只依赖最近的几项，这点类似递归。
具体例子参见：LCS（longest common substring），背包问题，最少硬币等等。

2.和递归有什么不同？
递归只是一种写法。
最大的不同是有重叠的子问题。递归算法一般来说是可以解决动态规划问题，但是复杂度相比穷举几乎没有改善，这时，如果画出解决流程的决策树，就会发现有很多重叠的子问题。
这点带来的好处就是可以大幅度减少运算。比如最简单的memo法（判断子问题算过就不再算），还有直接正序计算。这里的正序计算就是一般意义上的动态规划法。

3.例题
a.最长的升序的子序列（子序列和子串的区别是不用连续）：
技巧是建立状态转移：以每个序列的结尾的数作为下标，以长度作为状态值，这样新来一个就好判断了。

b.区间和最大：
技巧是状态转移：下标是数列的下标，记录的是以当前下标指向的数结尾的和最大的区间（注意，没有定区间起点，这个可以最后再找最大的，定了区间的终点，这样就容易递归了）

c.长度为n的01组成的字符串，不含连续3个0。问：有几种？
dp(i,0)以0结尾的长度为i的字符串有几种；dp(i,1)以1结尾的....；
然后枚举i-1和i-2的情况，如果同时为0，那么i位置只能为0。所以，
dp(i,0)=dp(i-1,0) + dp(i-1,1) - dp(i-2,0)
dp(i,1)=dp(i-1,0) + dp(i-1,1)
结果是dp(n,0)+dp(n,1)

d.p次入栈，q次出栈的可能的顺序有几种？
也是枚举末尾状态：末尾是出栈/入栈，所以，f(p,q)=f(p-1,q)+f(p,q-1)

e.n堆石子，构成一个vector，每次合并相邻的两堆，消耗是这两堆石子数目之和，问怎么合并消耗最小，最小是多少？
dp(i,j)表示从i~j合并的最小消耗，那么求dp(i,j)可以枚举最后一步是合并的哪两个部分。这个题没有特别巧妙的方法，复杂度为O(n^3)
进阶1：n堆石子，每次合并任意两堆，最小消耗是多少？
找最小的两堆合并，完了把这堆加入，再找最小的两堆合并，一直下去
进阶2：n堆石子，每次合并堆的数目必须小于等于m，最小消耗是多少？
可以用m-叉树来说明这个问题。其逻辑见下一题（Huffman编码）。假设已经说明了我们只要第一次合并是小于m的，其他都是m次，那么根据n，可以求出m来（n-(x-1)-k(m-1)=1），这样就完全确定了。为什么要小于m只能是在第一次：不然可以把叶子节点移到上面去，消耗是减小的。

f.Huffman编码：根据每个字母出现的频率，确定其Huffman编码（01组成，任何一个字母的编码不能是其他编码的前缀）
这里的逻辑也是一直找最小的堆合并。用树来模拟这个过程：从叶子节点开始建，找频率最低的两个，然后