第12章 有限状态机和动态规划

以下内容学习、摘录自《数学之美》

2008年9月23日， Google、T- Mobile和HTC宣布了第一款基于开源操作系统 Android的3G智能手机G1。它的杀手级功能是利用全球卫星定位系统实现全球导航，这个功能当时已经完全可以媲美任何一个卫星导航仪，加上它的地址识别技术（采用有限状态机）比卫星导航仪严格的地址匹配技术（不能输错一个字母）要好得多，结果麦哲伦等专业导航仪厂商在G1发布当天的股价暴跌四成。

在地图本地搜索中，判断一个地址的正确性同时非常准确地提炼出相应的地理信息（省、市、街道、门牌号等等）是必不可少的技术。比如：
四川省成都市武侯区高升大厦
成都市一环路南一段高升大厦
四川省成都市高升桥高升大厦
这些地址并不完全标准，但快递小哥都可以识别并把包裹动到，说明它们还是准确的。但是，如果让一个程序员写一个分析器分析这些地址的描述恐怕就不是一件容易的事了。其根本原因在于，地址的描述虽然看上去简单，但是它依然是比较复杂的上下文有关的文法，而不是上下文无关。

所幸的是，地址的文法是上下文有关文法中相对简单的一种，因此有许多识别和分析的方法，但最有效的是有限状态机。有限状态机是一个特殊的有向图，它包括一些状态（节点）和连接这些状态的有向弧。其实，有限状态机在计算机科学中早期的成功应用是在程序语言编译器的设计中，相信学过编译原理的同学们还有印象。作为程序员，你一定使用过“正则表达式”，而它就是有限状态机的具体实现。

有限状态机的算法不是很好写，它要求编程者既懂得里面的原理和技术细节，又要有很强的编程能力，因此建议大家直接采用开源的代码就好。比较有名的是AT&T开放的C语言库。

全球导航的关键算法是计算机科学图论中的动态规划（ Dynamic Programming）的算法。

北京到广州的最短行车路线或者最快行车路线。当然，最直接的笨办法是把所有可能的路线看一遍，然后找到最优的。这种办法在节点数是个位数的图中还行得通，当图的节点数（城市数目）达到几十个时，计算的复杂度就已经让人甚至计算机难以接受了，因为所有可能路径的数量随着节点数的增长而呈指数（或者说几何级数）增长，即每增加一个城市，复杂度要大一倍。显然导航系统不会用这种笨办法——任何导航仪或者导航软件都能在几秒钟内就找到最佳行车路线。所有的导航系统都采用了动态规划（ Dynamic Programming，DP）的办法，这里面的 Programming一词在数学上的含义是“规划”，不是计算机里的“编程”。

动态规划的原理其实很简单，假如：要找出从北京到广州最短路径。其实我们知道，从广州到北京的最短路径必须经过这一条线上的某个城市（乌鲁木齐、西宁、兰州、西安、郑州、济南）。因此可以先找到从北京出发到这条线上所有城市的最短路径，最后得到的全程最短路线一定包括这些局部最短路线中的一条，这样，就可以将一个“寻找全程最短路线”的问题，分解成一个个寻找局部最短路线的小问题。只要将这条横切线从北京向广州推移，直到广州为止，我们的全程最短路线就找到了。这便是动态规划的原理。

采用动态规划可以大大降低最短路径的计算复杂度。在上面的例子中，每加入一条横切线，线上平均有10个城市，从广州到北京最多经过15个城市，那么采用动态规划的计算量是10×10×15，而采用穷举路径的笨办法是10的15次方，前后差了万亿倍。正确的数学模型可以将一个计算量看似很大的问题的计算复杂度大大降低。这便是数学的妙用。

有限状态机和动态规划的应用非常广泛，远远不止识别地址、导航等地图服务相关领域。它们在语音识别、拼写和语法纠错、拼音输入法、工业控制和生物的序列分析等领域都有着极其重要的应用。

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