（10.1）James Stewart Calculus 5th Edition：Curves Defined by Parametric Equations

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Curves Defined by Parametric Equations 曲线定义的参数方程

有的时候，有些曲线不符合 the Vertical Line Test 竖线检测
例如：

虽然不能写成 y = f(x)
但是，他们都是 时间 t 的 函数：
假如 x，y都是 第3个参数 t 的函数， 即：
x = f（t） ， y = g（t）
被叫做 parametric equations 参数方程

这个时候， 点（x，y）是平面坐标系的点。
P（x，y） = （f（t） ， g（t））
我们叫做：
parametric curve 参数曲线。

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例子1

我们可以先画表：

再描点，得到图像：

随着t的增加，可以得到对应的点
我们根据条件，可以得到等式：

即，双曲线

这里 t 是任何实数
有的时候，t 只是一个区间。例如

根据值，我们可以得到曲线

这里有 起始点， 终点

这里我们知道
起点为 （0，1）
终点为 （8，5）

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例子2

我们简单化简，可以得到：

并且，很显然是一个圆圈
大体，也很好理解，从t = 0 ， 到 t = 2π， 是一个逆时针的过程，图像大体为：

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例子3

这里注意，虽然t的范围一样
但是，对应的起点，终点不一样了
这时候，2t 就是 2周
并且起点在 （0，1）
大致图像为：

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例子4

很明显，我们可以得到对应x和y的等式

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Graphing Devices 图像设备

用机器的东西，对应理论来说，是个实践的过程
但是，对于理论学习本身来说，没有太多意义
所以，自己贴下图就行

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例子5

大体可以得到等式（画图，其实，输入就可以得到结果，也不用自己求）

最后，得到图像：

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其他一些图像

对应的图像：

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对应的图像：

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The Cycloid 摆线

类似下图，P点的运动轨迹，叫做 Cycloid 摆线

这里对应的 OT 距离，也很好理解
长度 = 对应走过的弧长
也就是 半径 x 弧度

对于下图

我们可以得出：

对于坐标系的 P（x，y），有：

也就是：

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Families of Parametric Curves 参数曲线的族

（之前感觉 数学书上，名词的翻译是一坨屎，现在感觉，的确也不好翻译，和沟通一样，所有的沟通都会有信息丢失）
比如，我们有等式

那么，对应的曲线一般会是什么样的？
当a变大的是很， 对应的形状会是怎么样的？
我们可以简单画出图像：

这里，我们发现一些简单的规律
（每个人可能找到的都不一样，自己也只是简单归纳一下）

• a < -1的时候， 右侧比较平滑
• a = -1 的时候， 右侧就开始变得尖起来
• -1 < a < 0 的时候， 图像的右侧会有一部分图像
• -1 < a < 0 ，a 越靠近 0，整体就越靠近 y = 0
• a为 0 的时候， 图像是一个圆
• 后面的对称理解即可