Link 1
Link 2
Link 3
Link 4
Link 5
看不懂
261
319
465
367
492
251
276
394
503
360
245
388
513
273
447
302
518
379
508
369
550
499
Solutions
题号标 x 的需要 看证明 / 重新思考 / 写代码
Problem 110 Diophantine reciprocals II
在如下方程中，，均为正整数（其中 ）
不同的解的总数超过四百万种的最小 值是多少？
Solution
此题有一个优美的结论：此方程组的解数为
proof
考虑 是整数，又由于
，得到 。那么令 ， 就是 的一个约数，易得这是一个充要条件
令 ，注意到 ，那么最优解一定有 ，以此作为剪枝即可。
参考资料
Problem 233x Lattice points on a circle
作过点 、、 和 的圆，记圆周上坐标为整数的点的数目为 。
有些正整数 且 ，这些正整数的和是多少？
Solution
考虑到 需要表示为两个数的平方和。这里有 费马平方和定理
一个奇质数能表示为两个数的平方和的充要条件是
根据经典恒等式 ，可以得到：这种质数的乘积也能表示为两个平方数的和。
分解 后讨论，最后转化为一个线性筛DP（考虑每个这种质数的指数）
参考资料
Note 事实上，任意一个素数都能 唯一的 表示为两个数的平方和。这是因为 高斯整数环 是一个欧氏环，满足唯一分解性，具体参见高代书的内容
Problem 271 Modular Cubes, part 1
对于正整数 ，存在整数 ，满足 ，且 。记所有这样的整数 的和为 。
求 。
Solution
注意到将模数分解后，每个质因子独立（这些质因子都很小），于是求出每一个质因子下的三次剩余，暴力 CRT 合并即可
Problem 272x Modular Cubes, part 2
对于正整数 ，存在整数 ，满足 ，且 。记所有这样的整数 数目为 。
对于所有使得 的正整数 ，求它们的和。
Solution
考虑三次剩余的性质，并注意到 （实际上一定是3的幂次）
三次剩余的性质：
参考资料 1
参考资料 2
参考资料 3
Problem 292 Pythagorean Polygons
我们定义 毕达哥拉斯多边形 为满足下列性质的凸多边形：
- 有至少三个顶点，
- 不存在三个顶点共线，
- 每个顶点坐标均为整数，
- 每条边长度均为整数。
对于给定的整数 ，记 为边长 的不同毕达哥拉斯多边形的数目。
只要不能将其中一个通过平移得到另一个，就被认为是不同的毕达哥拉斯多边形。求 。
Solution
显然可以得到一个DP做法，利用毕达哥拉斯三元组转移。
注意到条件 不存在三个顶点共线，于是考虑 本原 毕达哥拉斯三元组，所有三元组都可以由这个东西生成，于是用这个东西转移即可，由于斜率的单调性，可以前缀和优化一下
Problem 295 Lenticular holes
若两圆重叠而成的凸区域满足以下条件，我们称之为 透镜孔洞
- 两圆的中心都是格点。
- 两圆在两个格点处相交。
- 两圆重叠而成的凸区域内部不包含任何格点。
如果存在两个半径分别为 和 的圆能够生成透镜孔洞，我们就称有序正实数对 为透镜数对。
记 是所有满足 的 不同 透镜数对的数目。
求 。
Solution
通过 不等式 得到了长度的上界。考虑其中垂线，根据限制，是一段区间， 即可
Problem 341 The Mouse on the Moon
考虑一个 的网格，中心有一个半径为 的网格，要求选择一个多边形，与圆不相交（可以相切），并且顶点都在整点上，求包围面积与周长的最大比值。
[站外图片上传中...(image-71e329-1535885869188)]
Solution
分数规划好题！
二分答案，观察到一条边的贡献，可以由叉积减去答案乘长度得到，利用凸多边形的性质，按照 排序，DP 即可
Problem 362x Squarefree factors
我们记 是将 分解为一个或多个大于 的无平方因子因数乘积的方式数。
记 为 。求 。
Solution
首先线性筛出无平方因子数，考虑暴力DP， 考虑 中，用不超过 无平方因子数表出的个数。
然而这样暴力大概是 的。
注意到我们只需要考虑到根号级别的质数（因为大于根号的至多只有一个），其他的前缀和算一算，复杂度就是 的了
Problem 373 Circumscribed Circles
每个三角形都有一个经过三个顶点的外接圆。考虑所有外接圆半径也是整数的整数边长三角形。
取其中外接圆半径不超过 的三角形，记它们的外接圆半径之和为 。
求 。
Solution
通过××可以发现，一个结论：这种三角形的三边，一定是毕达哥拉斯三元组的直角边。
proof
考虑一个三角形 ，他的圆心为 。考虑作过 的直径 ，连 。
根据托勒密定理，有：
于是根号下的东西是完全平方数。
由于小于 的毕达哥拉斯三元组是 级别的，所以暴力生成三元组，枚举半径，，求出 ，即可。
Note 似乎存在规律：两个 ，如果它们的分解当中 素数的指数分布相同，它们的答案相同。（如何证明？）
Problem 416 A frog’s trip
在一列 个方块的最左边一个上有一只青蛙。青蛙通过连续不断的跳跃，先跳到最右边的方块，然后再跳回最左边的方块。它向右跳的时候每次可以跳一个、两个或三个方块，跳回来时也同理。它不能跳出这些方块。这样的往返它一共进行了 次。
记 为青蛙在旅途中至多有一个方块从未被跳到过的方式总数。
求 的最后 位数字。
Solution
把从右向左跳的青蛙反转方向，所有 只一起考虑，可以矩阵快速幂解决。
状态只需维护两个位置的青蛙数量，剩下一个可以直接得到。
Hardest
Problem 446 Retractions B*
对于任意整数 ，函数族 按如下方式定义：，其中 都是整数，且 。
我们称 为撤销函数，当 均有在模 意义下 。
记 是给定 下撤销函数的数目。记 ，其中。
求
Solution
首先可以证明一个结论：
proof
考虑 等价于 。
令 分别等于 ，容易得到 并且 ，显而易见，这是个充分必要条件。
令 ，那么有 存在 种取值（ 是 的倍数），并且 。
注意到 ，根据扩欧，容易得到：当且仅当 时，存在解 ，并且解唯一（同时存在 种解 ）
于是有
回到原问题。一个重要的事实是 ，于是我们只需要考虑形如 数的答案。
还有一个亟待解决的问题是 与 之间的公因子。
显然当 为偶数时，会存在公因子 ，而没有公因子 。又 ，考虑 大于 的因子 ，则必定有 。
因而 为偶数时， 为 ，否则 为 。
接下来，我们考虑使用筛法来求出所有的 。在这里，推荐 ZhouYuChen 的高效筛法，复杂度可以做到 （由于去除的质因子非常大，所以实际非常不满）。
注意到 ，在模 意义下至多存在两个解 ，逐个去筛 即可。但是，如何说明处理到第 个数时，剩下的 为质数？
proof
假设当前去筛的数为 ，任取两个质因子 。
需要说明的是， 不存在平方因子。因为 ，而显然 不被任何质数的平方整除。可以得到
于是有
注意到，此时必定有 ，也即
假设
可以得到 ，根据 ，那么有 。得到 ，与上述式子矛盾！
于是就解决了整个问题。