贝叶斯的重病筛查案例-Precision-Accuracy-Recall

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这是一个经典的贝叶斯案例，也是很反直觉的，很多解释认为这个反直觉是因为我们的日常错误的思维习惯，但我觉得可能恰恰相反，下面我们先回顾一下这个案例，然后再进一步讨论。

案例回顾

对所有人来说某种癌症的患病率为5%，医生使用某设备为你做了检查，此设备检查的准确率为80%，检查结果显示你患有此病（阳性）。请问你真实患有此病的概率是多少？

常见解答

首先我们要理解5%和80%这两个概率是什么意思。

患病率为5%，也就是说100个普通人里面有5个人生病，如图中红色。
设备的准确率为80%，也就是说有20%会搞错，95个真实无病的人来做检查，也会有95x0.2=19个人被查出病来，同样5个有病的也只查出4个来。

这么算的话，总共有4+19=23个人被查出有病，你是其中之一。而实际上真有病的可能是4/23大约是17%，所以你可以稍微放宽心一些，因为你真的患了这种癌症的可能性还不足五分之一，这就是常见解答给出的结论。

文字游戏

上面的解说看似科学完美，而且结果足够的乐观，但是不要高兴的太早。

你的乐观完全建立在对“检查准确率80%”这个说法的理解之上的，如果我把它解释成检查出100个有病，那么80个就真实有病，你还会乐观起来吗？

这简直就是纯粹文字游戏而已。

“检查准确率80%”到底怎么解？为100个人做检查，最终结果（无论真有病或真无病）有80%是正确的吗？真这么解释的话就不用买设备了，直接来问我吧，100个人来问我，我说100个人无病，那么我的准确率岂不是95%？（因为我对95个人的判断是正确的）。

在上面的常规解答中认为，80%的解释是：

• 100个真有病的来检查，此设备能查出80个有病，20个无病；
• 100个真无病的来检查，此设备能查出80个无病，20个有病。

对真有病和真无病的分辨能力可以控制在同一水平，是不是太巧合了？这就好像说如果100个男人中你可能错误认为其中20个是女人，那么你就一定也会把100个女人中的20个误认为是男人一样不靠谱。

一个反例

假设某种疾病，只要某个血液指标k超过500就可以断定患有这种病，真实患病者中一半的患者都k>500，而k<500的普通人中也有1/4的人可能患病，这批人占病患总数的另一半。

某设备就是根据k值进行检查的，只要k>500就判断有病，k<500就判断健康。
普通人中这种病的发病率是40%，那么100人来检查，20个被正确检查为有病，另外80人中的1/4也就是20个病患没有检测出来，60个没病的被正确判断，那么设备的“准确率”是80%。

如果这个设备也检查你并判断有病，那么你真实患病可能是多少？100%！和30%、80%完全无关。

所以，如果你已经被检查出有病，那么真实的患病可能性只和设备对于真实病患的识别能力有关，换句话说，它查出100个有病结果中实际多少人真的有病。

TP、FP、TN、FN

为了搞明白这个问题，我们要首先明确几个词语的定义，否则讨论是没有意义的。

对于设备检查病情这个事情，无外乎四种情况：

• TP，实际有病且检查也说有病。也就是有病，而且被正确查出来了，报告上的阳性Positive是真的，即True Positive真阳性。虽然生病，但还有得治。
• FP，实际没病但检查说有病。也就是没病，但被误诊为有病了，报告上的阳性Positive是错误的，即False Positive假阳性。这是倒霉，要浪费医药费了。
• TN，实际没病且检查也说没病。也就是没病，检查结果也是正确的没病，报告上的阴性Negative是真的，及True Negative真阴性。皆大欢喜。
• FN，实际有病但检查说没病。也就是有病，但被误诊为没病了，报告上的阳性Positive是错误的，即False Positive假阴性。最大悲剧，最后不知道怎么死的。

如下图所示，False开头的红色FP、FN都是误诊。

精准率Precision和准确度Accuracy

打的准和打的对是两回事，你枪枪爆头固然是打得准，但如果杀得都是自己人那就不是打的对。

直接从公式上可以看出它们的不同含义。

精确率Precision也叫查准率，或PPV（positive predictive value阳性预测值），就是你不管你从多少人中查出100个有病的，其中实际多少人真的有病，即真阳病患数TP除以所有阳性报告数量TP+FP。

准确度Accuracy就是你总共就查了100个人出了100份报告，其中有多少报告被你写对了，既包含真有病你写的也是阳性，也包含真没病你也写的是阴性，就是所有真阳和真阴TP+TN的数量占所有报告总数的比例，也就是1减误诊率。

准确度Accuracy有些时候没卵用，比如类似上面刚才举过的例子，某普通人患病率0.01%的癌症，随便弄台机器检查谁都说没病，这机器的Acc都能达到99.99%，Acc对于这种有病没病的数量比例严重失调的情况可以说毫无意义。

所以后来又发明出了平衡准确度Balanced Accuracy。

在这里，TPR是指真阳率true positive rate，也叫Recall召回率或者hit rate命中率、sensitivity敏感度，即查出的真患病人数占实际所有病患人数的比例；TNR是真阴率true negative rate，即查出的真没病人数占实际所有没病人数的比例；平衡准确度Balanced Accuracy是这两个比例的平均数。

从上面看，对于重病检查的案例，我们知道的如果是准确度Accuracy，其实没啥用。我们要的是精确率Precision，就是你查出100个有病，其中多少人实际会中招。

精确率Precision、召回率Recall和F值F-measure

再看一下上面我们在Balanceed Accuracy中提到的TPR，Recall召回率，它也叫做查全率，它表示全部生病的人里面你能查出多少个来，比如开始例子中，5个人生病，如果只查出4个，那么这个设备的召回率就是4/5等于80%。

对比下图可以帮助我们理解精确率Precision和召回率Recall的关系：

各个集合直接的关系

精确率Precision、召回率Recall

Recall查准率和Precision查全率往往有此消彼长的关系。比如开始的案例，如果我们把100人都检查为有病，那么查全率就是100%，一个不漏，但这样导致查准率变为5/100等于5%，低的可怜。反之，我们只查出5个人中的1个有病，那么查准率就是100%，查全率却只有1/5等于20%，也是低的可怜。最好的情况是查准率和查全率都是100%，5个有病的都查出来，一个不多一个也不少。

从上面我们也看出，单用查全率或者查准率都不全面，于是就出现了将两者糅合在一起的F值F-measure：

就是查准率Precision和查全率Recall的调和平均数，两数积2倍除以两数和。
由于Precision又叫PPV（positive predictive value阳性预测值），Recall又叫做
TPR（true positive rate真阳性率），所以有：

F值就是2倍真阳除以2倍真阳、假阳与假阴的和，它的分母部分看起来像这样：

另外，如果认为查准率或者查全率更重要的话，F值还可以为Precision和Recall使用不同的权重，得到更多变体。此外也有很多其他用于评估类似设备或算法质量的方法，大家有兴趣可以多关注一些。

回到开始

假阳率FPR（false positive rate）也叫fall-out，是误诊为有病的数量除以真实无病的数量（假阳性加真阴性）：

最初我们的案例的下图中，由于设定了假阳率FPR也是80%，查全率Recall是80%，所以设备的查准率Precision是4/23大约是17%，F1值是(2x5)/(2x5+1+19)大约等于28%，都还是蛮低的。

总之，如果一个查准率只有17%的设备检查你患了绝症，你还是可以坚强一些再看看进一步情况，但如果一个查准率有80%的设备检查你患了绝症，那么你很可能遇到了大麻烦。

总结

• T、F、P、N的含义
• Accuracy、Balanced Accuracy
• Precision、Recall、F-measure
• 反常识的科学知识很多，但我们要认真甄别，仔细思考，因为常识是我们赖以生存的根本，不要轻易因为新奇的事情而放弃。

请注意，这里大多时候把Precision讲做查准率，但请记住它的更常用名称是精确度；Recall更科学的名字是召回率，查全率只是方便理解的说法。

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