分治算法——汉诺塔问题

一、分治算法概念
      “分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题，直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。

        这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，傅立叶变换(快速傅立叶变换) 。

        任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。例如，对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任何计算。n=2时，只要作一次比较即可排好序。n=3时只要作3次比较即可，…。而当n较大时，问题就不那么容易处理了。要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的。

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二、分治法的设计思想

        将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。

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三、分治策略

        对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治法。

四、分治法实现步骤

①分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题；②解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题；③合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。

它的一般的算法设计模式如下： 　　                                                                                          Divide-and-Conquer(P) 　　                                                                                                         1. if |P|≤n0 　　                                                                                                                              2. then return(ADHOC(P)) 　　                                                                                                    3. 将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,…,Pk                                                                                     4. for i←1 to k 　　                                                                                                                       5. do yi ← Divide-and-Conquer(Pi)  递归解决Pi 　　                                                                   6. T ← MERGE(y1,y2,…,yk)  合并子问题 　　                                                                             7. return(T)

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五、可使用分治法求解的一些经典问题 　　                                                                            （1）二分搜索 

 （2）大整数乘法

（3）Strassen矩阵乘法

（4）棋盘覆盖 

 （5）合并排序

（6）快速排序

（7）线性时间选择

 （8）最接近点对问题

 （9）循环赛日程表

（10）汉诺塔